Anfangswertproblem bei linearer, inhomogener DGL 2. Ordnung

Question

Aufgabe:

y"(x) - 2y'(x) +y(x) = sin(x); y(0)=0; y'(0)=1

Answer 1

Hallo,

zum Schluß noch die AWB einsetzen:

y=  C₁ e^x +C₂e^x* x +cos(x)/2

y'= C₁ e^x +C₂e^x(x+1)  -sin (x)/2

y(0)=0 : 0=C₁ +1/2 ->C₁= -1/2

y'(0)=1 : 1=C₁+C₂ ->C₂=3/2

Lösung :y= -1/2 e^x +3/2 e^x *x +cos(X)/2

\( y(x)=\frac{1}{2}\left(\cos (x)+e^{x}(3 x-1)\right) \)

Answer 2

1. Homogene DGL lösen mit charakteristischem Polynom.
2. Partikuläre Lösung der inhomgenen DGL mit Ansatz vom Typ der rechten Seite finden.
3. Lösung der homogenen DGL mit partikulärer Lösung addieren.
4. Gleichungen für Anfangswerte aufstellen und lösen.