Aussagen mithilfe von Quantoren wiedergeben

Question

Hallo Leute,

ich muss in dieser Aufgabe die folgenden Aussagen mithilfe von Quantoren wiedergeben:

(a) Für jede reelle Zahl $x$ gilt: Wenn $x$ rational ist, dann auch $\sqrt{x}$.
(b) Für manche natürliche Zahlen $n \geq 3$ und ganze Zahlen $x, y$ und $z$ gilt $x^{n} \cdot y^{n} = z^{n}$

Ist das so richtig:

$a) \quad \forall x \in \mathbb{R} : x\in\mathbb{Q}\Rightarrow\sqrt{x} \in \mathbb{Q} \\ b) \quad \exists n \in \mathbb{N} \quad \land \quad \exists x,y,z \in \mathbb{Z} \quad , n \geq 3 :\quad x^{n} \cdot y^{n} = z^{n}$

Und im zweiten Schritt müssen wir die obigen Aussagen negieren:

$a) \quad \lnot(\forall x \in \mathbb{R}: x\in\mathbb{Q}\Rightarrow\sqrt{x} \in \mathbb{Q}) \Leftrightarrow \exists x \in \mathbb{R} : x\in\mathbb{Q} \quad \land \quad \sqrt{x} \notin \mathbb{Q} \\ b) \quad \lnot(\exists n \in \mathbb{N} \quad \land \quad \exists x,y,z \in \mathbb{Z} \quad , n \geq 3 :\quad x^{n} \cdot y^{n} = z^{n}) \Leftrightarrow \forall n \in \mathbb{N} \quad \land \quad \forall x,y,z \in \mathbb{Z}\quad , n \geq 3 : \quad x^{n} \cdot y^{n} \neq z^{n}$

Kann mir jemand sagen, ob das richtig ist.

Answer 1

a) finde ich gut, aber statt

b) $\quad \exists n \in \mathbb{N} \quad \land \quad \exists x,y,z \in \mathbb{Z} \quad , n \geq 3 :\quad x^{n} \cdot y^{n} = z^{n}$

würde ich meinen

b) $\quad \forall n \in \mathbb{N} \quad \quad \forall x,y,z \in \mathbb{Z} \quad n \lt 3 \lor \quad x^{n} \cdot y^{n} \neq z^{n}$