Charakterisieren aller offenen, abgeschlossenen und kompakten Teilmengen

Question

Aufgabe: Sei X eine Menge. Betrachten Sie die diskrete Metrik d: X × X → [0, ∞[, d(x, y) := { 1, x ̸= y,
                                                                                                                                                 0, x=y
1) Charakterisieren Sie alle offenen, alle abgeschlossenen und alle kompakten Teilmengen von X

2) Charakterisieren Sie alle (bzgl. d) konvergenten Folgen in X

Answer 1

1) Sei \(x\in X\). Dann ist die offene Kugel (offener Ball)

\(B_{1/2}(x)=\{y \in X: \; d(y,x)< 1/2\}=\{x\}\),

also sind die einelementigen Teilmengen von \(X\) alle offen und daher beliebige

Teilmengen als Vereinigungen einelementiger Mengen ebenfalls alle offen.

Da deren Komplemente dann ja ebenfalls offen sind,

sind auch alle Teilmengen abgeschlossen.

Wegen der Überdeckungseigenschaft sind genau die endlichen Mengen kompakt.

Hast du zu 2) schon etwas herausgefunden?