Grenzwert und Konvergenz einer Reihe

Question

ich hänge ein bisschen bei der Ermittlung des Grenzwertes dieser Folge hängen. Über Denkanstöße würde ich mich wirklich freuen!

Aufgabe:

Untersuchen Sie die angegebene Folge auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.

$$ a_n = (-1)^n *\frac{n-2^n}{4^n+3n^2} $$

Problem/Ansatz:

Grundsätzlich weiß ich, dass die Folge nach 0 konvergiert. $$ (-1)^n $$ ist zwar eine alternierende und damit divergente Folge, aber durch die Multiplikation mit dem zweiten Quotienten, welcher den Grenzwert 0 hat, konvergiert die Folge nach 0. Mein Problem ist es jetzt bloß dass "mathematisch" auf das Papier zu bringen. So sieht mein Ansatz aus:

$$ \frac{(-1)^n *(n-2^n)}{4^n +3n^2} = \frac{(-\frac{1}{4})*(n-2^n)}{1+3n^2} $$

Ich bin ehrlich gesagt etwas aufgeschmissen, was ich mit $$(-1)^n$$ anstellen soll.

Vielen lieben Dank im Voraus!

Comments

Du könntest mit 4^n kürzen.

Da 4^n als höchste Potenz "gewinnt" für n gegen oo, geht der Term gegen 0.

Man kann den Grenzwert hier quasi ablesen.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+%28-1%29%5En*%28n-2%5En%29%2F%284%5En-3n%5E2%29

Answer 1

\(\lim\limits_{n\to \infty}a_n = a \iff \forall \varepsilon > 0\ \exists N\in \mathbb{N}\ \forall n \geq N \left|a_n-a\right| < \varepsilon\)

Siehst du die Betragsstriche?

Comments

Optisch nehme ich sie natürlich wahr, aber mir wird nicht so ganz ersichtlich, was ich daraus ziehen soll. Das ist ja die Definition von der Konvergenz, oder? Die sagt ja eigentlich nur aus, dass eine Folge dann gegen eine Konstante konvergiert, wenn es eine "Stelle" in der Folge gibt, ab der die Differenz eines jeden Folgeglieds und des Grenzwerts gleich 0 ist. Ich weiß aber ehrlich gesagt nicht, wie ich das jetzt auf mein Problem beziehen soll.

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ab der die Differenz eines jeden Folgeglieds und des Grenzwerts gleich 0 ist.

Du hast die Version meiner Antwort gelesen, in der noch Tippfehler drin waren. Schau noch mal rein für die korrekte Definition.

wie ich das jetzt auf mein Problem beziehen soll.

Du hast die Vermutung, der Grenzwert sei 0. Also rechnen wir damit mal \(\left|a_n-a\right|\) aus:

\(\begin{aligned} & \left|a_{n}-a\right|\\ =\, & \left|(-1)^{n}\cdot\frac{n-2^{n}}{4^{n}+3n^{2}}-0\right|\\ =\, & \left|(-1)^{n}\right|\cdot\left|\frac{n-2^{n}}{4^{n}+3n^{2}}\right|\\ =\, & \left|\frac{n-2^{n}}{4^{n}+3n^{2}}\right|\\ =\, & \frac{2^{n}-n}{4^{n}+3n^{2}}\quad\forall n\geq1 \end{aligned}\)

Kein blödes \((-1)^n\) mehr.

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Jetzt habe ich es verstanden, vielen Dank!

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Übrigens, die Umformung \( \frac{(-1)^n *(n-2^n)}{4^n +3n^2} = \frac{(-\frac{1}{4})*(n-2^n)}{1+3n^2} \) ist illegal.