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Sei F eine Menge mit vier Elementen. Konstruieren Sie Verknüpfungen +: F ×F → F und ·: F ×F → F
so, dass (F, +, ·) ein Körper wird.

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Sei F eine Menge mit vier Elementen.

Zunächst ein mal brauchen die Elemente von FF Namen, schließlich wollen wir ja etwas über die Element aussagen. Ich schlage die Namen 00, 11, 22 und 33 vor.

so, dass (F, +, ·) ein Körper wird.

Es gibt ein neutrales Element bezüglich der Addition. Eigentlich können wir uns aussuchen, welches es werden soll. Um nicht mit althergebrachten Traditionen zu brechen schlage ich vor, dass das die 00 sein soll.

Deshalb würde ich auch vorschlagen, dass 11 das neutrale Element der Multiplikation sein soll.

Du weißt sicherlich schon, dass dann a0=0a\cdot 0 = 0 für jedes aFa\in F sein muss.

Das fasst man in zwei Tabellen zusammen:

+
0
1
2
3
0
0
1
2
3
1
1



2
2



3
3



·
0
1
2
3
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
2
0
2


3
0
3


Den Rest musst du noch ausfüllen. Dabei hilft noch, dass die Abbildungen

      xa+xx\mapsto a + x

und

        xbxx\mapsto b\cdot x

für jedes aa und für jedes b0b\neq 0 bijektiv sind.

Das heist in jeder Zeile und in jeder Spalte kommt jedes Element von FF vor. Zum Beispiel muss 2302\cdot 3\neq 0 sein, weil bereits 20=02\cdot 0 = 0 ist.

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