Elemente, Verknüpfungen...

Question

Sei F eine Menge mit vier Elementen. Konstruieren Sie Verknüpfungen +: F ×F → F und ·: F ×F → F
so, dass (F, +, ·) ein Körper wird.

Danke im Voraus

Answer 1

Sei F eine Menge mit vier Elementen.

Zunächst ein mal brauchen die Elemente von $F$ Namen, schließlich wollen wir ja etwas über die Element aussagen. Ich schlage die Namen $0$, $1$, $2$ und $3$ vor.

so, dass (F, +, ·) ein Körper wird.

Es gibt ein neutrales Element bezüglich der Addition. Eigentlich können wir uns aussuchen, welches es werden soll. Um nicht mit althergebrachten Traditionen zu brechen schlage ich vor, dass das die $0$ sein soll.

Deshalb würde ich auch vorschlagen, dass $1$ das neutrale Element der Multiplikation sein soll.

Du weißt sicherlich schon, dass dann $a\cdot 0 = 0$ für jedes $a\in F$ sein muss.

Das fasst man in zwei Tabellen zusammen:

+	0	1	2	3
0	0	1	2	3
1	1
2	2
3	3

·	0	1	2	3
0	0	0	0	0
1	0	1	2	3
2	0	2
3	0	3

Den Rest musst du noch ausfüllen. Dabei hilft noch, dass die Abbildungen

      $x\mapsto a + x$

und

        $x\mapsto b\cdot x$

für jedes $a$ und für jedes $b\neq 0$ bijektiv sind.

Das heist in jeder Zeile und in jeder Spalte kommt jedes Element von $F$ vor. Zum Beispiel muss $2\cdot 3\neq 0$ sein, weil bereits $2\cdot 0 = 0$ ist.