Steckbriefaufgabe Hilfe, Funktion ableiten

Question

Guten Morgen!

Morgen steht ein Test an. Im Buch lautet die Aufgabe:

Beweisen Sie, dass es eine Funktion mit den folgenden Eigenschaften geben kann:

Die zweite Ableitung einer ganzrationalen Funktion 4. Grades lautet berührt I'm Punkt (2/0) die x Achse, hat I'm Punkt 0/0 ein Wendepunkt und die Wendetagente schneidet die x Achse unter dem Winkel 45°

Bitte hilft mir

Comments

Fehlt da nicht etwas? Die zweite Ableitung soll angegeben werden?

Answer 1

ganzrationale Funktion 4. Grades  f(x)=ax⁴ +bx³+cx²+dx + e

berührt  f ' (2)=0      I'm Punkt (2/0)    f(2)=0   die x Achse,

hat I'm Punkt 0/0     f(0)=0  einen Wendepunkt f ' ' (0)=0

und die Wendetagente schneidet die x Achse unter dem Winkel 45°   f ' (0)=1 

Die letzten 3 Bedingungen geben e=0 c=0 und d=1

also f(x)=ax⁴ +bx³+x ==>  f ' (x) = 4ax³ + 3bx + 1

==>  16a + 8b + 2 = 0 und 32a + 12b + 1 = 0

==>  a=1/4 und b=-3/4 also

f(x)= 1/4 x⁴ -3/4 x³ + x

So eine Funktion gibt es (Musst halt alles nachprüfen)

sieht so aus Plotlux öffnen

f₁(x) =  1/4·x⁴-3/4·x³+x

Comments

mathef, bei deiner Gleichung berührt der Graph von f(x) die x-Achse bei x = 2, aber nicht der von f''(x)

Ich habe u.a. die Bedingungen f''(2) = 0 und f'''(2) = 0 aufgestellt, die sich aber widersprechen. Oder denke ich falsch?

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Ich denke Du recht und die Aufgabe führt zu keiner Lösung.

Answer 2

Aloha :)

Bist du sicher, dass du beweisen sollst, dass es so ene Funktion gibt, oder ob es so eine Funktion gibt?

Die 2-te Ableitung $f''(x)$ berührt im Punkt $(2|0)$ die $x$-Achse. Bei $x=2$ liegt also eine doppelte Nullstelle vor, das heißt, die 2-te Ableitung enhält den doppelten Linearfaktor $(x-2)^2$.

Diese zweite Ableitung hat keinen Wendepunkt, weil quadratische Polynome nie einen Wendepunkt haben.

Wenn die Fuktion $f(x)$ den Wendepunkt bei $(0|0)$ haben soll, müsste die 2-te Ableitung auch die Nullstelle $(0|0)$ haben, das heißt aber, dass sie auch noch den Linearfaktor $x$ enthalten muss:$$f''(x)=a\cdot x\cdot(x-2)^2=a(x^3-4ax^2+4x)$$Dann wäre $f''(x)$ aber ein Polynom 3-ten Grades und damit $f(x)$ ein Polynom 5-ten Grades.

Daher gibt es keine solche Funktion.

Du hast vielleicht den Aufgabentext nicht vollständig und korrekt wiedergegeben. Vergleiche bitte mal deine Frage mit der Original-Aufgabe.