Der Betrag ||v|| ist interpretiert als die Länge des Vektors v. Der Abstand zwischen zwei Punkten ist definiert als …

Question

Aufgabe:

Für einen Punkt $v=\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}$ definieren wir den Betrag $\|v\|$ als $\|v\|=\sqrt{\langle v, v\rangle}=\sqrt{\alpha_{1}^{2}+\ldots+\alpha_{n}^{2}}$. Der Betrag $\|v\|$ ist interpretiert als die Länge des Vektors $v$.

Der Abstand zwischen zwei Punkten $v$ und $w$ ist definiert als $d(v, w)=$ $\|v-w\|$.

Zeigen Sie:

(i) $\|v\|=0$ genau dann, wenn $v=0$.

(ii) Für alle Skalare $\alpha \in \mathbb{R}$ und alle $v \in \mathbb{R}^{n}$ gilt $\|\alpha \cdot v\|=|\alpha| \cdot\|v\|$.

(iii) Der Mittelpunkt der geraden Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten $v$ und $w$ in $\mathbb{R}^{n}$ ist der Punkt $\frac{1}{2}(v+w)$.

Answer 1

Nimm einfach die Definitionen:

(i)  ||v|| = √<v,v>

In Worten: Betrag von v ist die Wurzel aus dem Skalarprodukt

von v mit sich selbst, bzw. die Wurzel aus der Summe der

Quadrate der Komponenten von v

Wenn also ||v|| = 0 gilt, und v=(a1,...an) ist, dann gilt

√ ( a1² + .... + an²) = 0

==> a1² + .... + an² = 0

Und da die Summanden alle ≥0 sind ( Quadrate !)

folgt:  Alle Summanden sind gleich 0, also

a1 : ... : an = 0 , also v=0.

Umgekehrt: Wenn v=0 ist, dann sind alle a_i=0 also

auch ||v||=0.

Answer 2

Zum Beispiel sieht der Beweis von (ii) so aus:

sei $\vec{v}$=$\begin{pmatrix} a_1\\:\\:\\a_n \end{pmatrix}$. Dann ist $\vec{av}$=$\begin{pmatrix} a·a_1\\:\\:\\a·a_n \end{pmatrix}$ und ||a·$\vec{v}$ || =$\sqrt{(a·a_1)^2+...+(a·a_n)^2}$. Anwendung der Potenzgesetze auf jeden Summanden unter der Wurzel, Ausklammern von a² unter der Wurzel und teilweises Wurzelziehen führt zu ||$\vec{av}$||=a·$\sqrt{a_1^2+...+a_n^2}$=a·||$\vec{v}$||.

Answer 3

Zu (iii):

Die Verbindungsstrecke zwischen $u$ und $v$ ist die Menge

$S=\{u+\lambda(v-u):\; \lambda\in [0,1]\}$. Insbesondere für $\lambda=1/2$

bekommt man $1/2(u+v)\in S$. Nun müssen wir zeigen, dass dieser Punkt

zu den Endpunkten $u$ und $v$ denselben Abstand hat:

$\|1/2(u+v)-u\|=\|1/2(v-u)\|=1/2\|v-u\|$, ebenso

ergibt sich $\|1/2(u+v)-v\|=1/2\|v-u\|$, q.e.d.