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Aufgabe:

Für einen Punkt v=(α1,,αn)Rn v=\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n} definieren wir den Betrag v \|v\| als v=v,v=α12++αn2 \|v\|=\sqrt{\langle v, v\rangle}=\sqrt{\alpha_{1}^{2}+\ldots+\alpha_{n}^{2}} . Der Betrag v \|v\| ist interpretiert als die Länge des Vektors v v .

Der Abstand zwischen zwei Punkten v v und w w ist definiert als d(v,w)= d(v, w)= vw \|v-w\| .

Zeigen Sie:

(i) v=0 \|v\|=0 genau dann, wenn v=0 v=0 .

(ii) Für alle Skalare αR \alpha \in \mathbb{R} und alle vRn v \in \mathbb{R}^{n} gilt αv=αv \|\alpha \cdot v\|=|\alpha| \cdot\|v\| .

(iii) Der Mittelpunkt der geraden Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten v v und w w in Rn \mathbb{R}^{n} ist der Punkt 12(v+w) \frac{1}{2}(v+w) .

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Nimm einfach die Definitionen:

(i)  ||v|| = √<v,v>

In Worten: Betrag von v ist die Wurzel aus dem Skalarprodukt

von v mit sich selbst, bzw. die Wurzel aus der Summe der

Quadrate der Komponenten von v

Wenn also ||v|| = 0 gilt, und v=(a1,...an) ist, dann gilt

√ ( a12 + .... + an2) = 0

==> a12 + .... + an2 = 0

Und da die Summanden alle ≥0 sind ( Quadrate !)

folgt:  Alle Summanden sind gleich 0, also

a1 : ... : an = 0 , also v=0.

Umgekehrt: Wenn v=0 ist, dann sind alle ai=0 also

auch ||v||=0.

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Zum Beispiel sieht der Beweis von (ii) so aus:

sei v \vec{v} =(a1 :  : an) \begin{pmatrix} a_1\\:\\:\\a_n \end{pmatrix} . Dann ist av \vec{av} =(a · a1 :  : a · an) \begin{pmatrix} a·a_1\\:\\:\\a·a_n \end{pmatrix} und ||a·v \vec{v} || =(a · a1)2+...+(a · an)2 \sqrt{(a·a_1)^2+...+(a·a_n)^2} . Anwendung der Potenzgesetze auf jeden Summanden unter der Wurzel, Ausklammern von a2 unter der Wurzel und teilweises Wurzelziehen führt zu ||av \vec{av} ||=a·a12+...+an2 \sqrt{a_1^2+...+a_n^2} =a·||v \vec{v} ||.

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Zu (iii):

Die Verbindungsstrecke zwischen uu und vv ist die Menge

S={u+λ(vu) :   λ[0,1]}S=\{u+\lambda(v-u):\; \lambda\in [0,1]\}. Insbesondere für λ=1/2\lambda=1/2

bekommt man 1/2(u+v)S1/2(u+v)\in S. Nun müssen wir zeigen, dass dieser Punkt

zu den Endpunkten uu und vv denselben Abstand hat:

1/2(u+v)u=1/2(vu)=1/2vu\|1/2(u+v)-u\|=\|1/2(v-u)\|=1/2\|v-u\|, ebenso

ergibt sich 1/2(u+v)v=1/2vu\|1/2(u+v)-v\|=1/2\|v-u\|, q.e.d.

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