Aloha :)
(i) Für die Menge A:$$n\cdot(1+(-1)^n)=\left\{\begin{array}{cl}2n &\text{falls \(n\) gerade}\\0 & \text{falls \(n\) ungerade}\end{array}\right.$$Die Elmente werden wegen \(2n\) unendlich groß, daher gibt es kein Supremum. Aber die Folge hat ein Minimum, nämlich das Element \(0\).
(ii) Für die Menge B:
Dein Geburtsjahr sei \(2001\). Nach oben gibt es kein Maximum, denn man kann hinter \(3,9\) beliebig viele \(9\)en anhängen, bevor das Geburstjahr als Sequenz folgt:$$3,9\,2001\ldots\;;\;3,99\,2001\ldots\;;\;3,999\,2001\ldots\;;\;\cdots$$Der Wert nähert sich jedoch beliebig nahe dem Supremum \(4\) an.
Nach unten gibt es kein Minimum, denn man kann hinter \(2,0\) beliebig viele \(0\)en anhängen, bevor das Geburtsjahr als Sequenz folgt:$$2,0\,2001\ldots\;;\;2,00\,2001\ldots\;;\;2,000\,2001\ldots\;;\;\cdots$$Der Wert nähert sich jedoch beliebig nahe dem Infimum \(2\) an.
(iii) Für die Menge C:
Für \(x<0\) ist der Zähler \(x^2+1>0\) und der Nenner \(x<0\), also sind alle Elemente \(c\in C\) negativ. Wir prüfen, für welche \(c\in C\) es ein passendes \(x<0\) gibt:$$c=\frac{x^2+1}{x}\implies cx=x^2+1\implies x^2-cx+1=0\implies x_{1;2}=\frac c2\pm\sqrt{\frac{c^2}{4}-1}$$Der Radikand muss \(\ge0\) sein, damit die Wurzel definiert ist:$$\frac{c^2}{4}-1\ge0\implies\frac{c^2}{4}\ge1\implies c^2\ge4\stackrel{(c<0)}{\implies}c\le-2$$Die Menge \(C\) hat also das Maximum \(-2\), aber kein Infimum.
(iv) Für die Menge D:
$$\frac{x}{|x|+1}=\left\{\begin{array}{cl}\frac{x}{x+1} &\text{falls }x\ge0\\[1ex]\frac{x}{1-x} & \text{falls }x<0\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{rl}1-\frac{1}{x+1} &\text{falls }x\ge0\\[1ex]-1+\frac{1}{1-x} & \text{falls }x<0\end{array}\right\}$$Für \(x\to\infty\) finden wir das Supremum \(+1\), für \(x\to-\infty\) das Infimum \((-1)\).
