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Hey, ich bin bei einer Aufgabe total stecken geblieben. Es geht darum, den Grenzwert OHNE Differenzialrechnung zu ermitteln. Kann mir bitte wer helfen? Ist ziemlich dringend und wäre echt mega!!

(a) \( \lim \limits_{x \rightarrow 1^{-}} \frac{x-\frac{1}{x}}{x-2+\frac{1}{x}} \quad \) und \( \quad \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x^{2}} \)

(b) \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} x \sin \frac{1}{x} \quad \) und \( \quad \lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{x^{2}-3 x+1}-\sqrt{x^{2}+3 x-1}\right) \)

(c) \( \lim \limits_{x \rightarrow a^{+}} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}+\sqrt{x-a}}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}, a>0 \)


DANKE im Voraus!!

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Hallo,

ich fange mal an:

Bei der ersten Aufgabe: Umformen bis der Ausdruck sich beurteilen lässt:

$$\frac{x-1/x}{x-2+1/x}=\frac{x^2-1}{x^2-2x+1}=\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-1)}=\frac{x+1}{x-1} \to - \infty$$

Der Zähler geht gegen 2 der Nenner gegen 0, mit negativen Werten.

Bei den beiden folgenden Aufgaben gehe ich davon aus, dass die Information

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}=1$$

bekannt ist. Damit

$$\frac{1-\cos(x)}{x^2}=\frac{(1-\cos(x))(1+\cos(x))}{x^2(1+\cos(x))}=\frac{(1-\sin(x))^2}{x^2(1+\cos(x))}$$

$$=\left(\frac{\sin(x)}{x}\right)^2\frac{1}{1+\cos(x)} \to 1 \cdot \frac{1}{2}$$

Die nächste Aufgabe erledigt sich durch die Substituion y=1/x, wobei dann y gegen 0 geht.

Für die nächste Aufgabe benutzt man die allgemeine Umformung

$$a-b=\frac{(a-b)(a+b)}{a+b}$$

und dann im Zähler eine binomische Formel. Für a,b nimmt man die beiden Wurzeln und erhält - nach Vereinfachen:

$$\frac{-3x+1-(3x-1)}{x(\sqrt{1+ \ldots}+\sqrt{1+\ldots})} \to \frac{-6}{1+1}$$

Gruß Mathhilf

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Dankeee!!! Du hast mich gerettet

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