-2(4+x) + 2(4-rx)r= 0 nach x auflösen

Question

Ein Modell, das in der Theorie effizienter Anleihemärkte auftritt, vervendet die Funktion:

\( U(x)=72-(4+x)^{2}-(4-r \cdot x)^{2} \)

wobei r eine positive Konstante ist. Bestimmen Sie denjenigen Wert von \( x \), für den \( U(x) \) seinen größten Wert einnimmt. Stellen Sie sicher, dass der gefundene Wert ein Maximum ist.

Lösung:

\( U^{\prime}(x)=-2(4+x)+2(4-r \cdot x) \cdot r=0 \)
\( \mathrm{x}=\frac{4(\mathrm{r}-1)}{1+\mathrm{r}^{2}} \)
\( U^{\prime \prime}(x)=-1-r^{2} \Rightarrow \) immer \( <0 \)

Daher ist die Lösung ein Maximum.

Wie hat man nach dem Ableiten nach x aufgelöst?

Answer 1

Ziel muss sein: x allein auf einer Seite der Gleichung.

-2(4+x) + 2(4-rx)r= 0             |ausmultiplizieren

-8 -2x + 8r - 2r^2 x = 0       |alles mit x nach rechts

-8 + 8r = 2x + 2r^2 x         | :2

-4+4r = x + r^2 x        |x ausklammern

-4+4r = x(1+r^2)        |:()

(4r-4)/(1+r^2) = x oder 4 noch ausklammern

(4(r-1))/(1+r^2) = x

Answer 2

U´( x ) =  -2 * ( 4 + x ) + 2 * ( 4 - r * x ) * r  l : 2
U´( x ) =  - ( 4 + x ) + ( 4 - r * x ) * r
U´( x ) =  - 4 - x  + 4 * r - x * r^2   = 0  l Extremwert
-  x - x * r^2 =  4 - 4 * r    l * (-1)
x + x * r^2 = -4- + 4 * r
x ( 1 + r ^2) = 4 * ( r - 1 )
x = 4 * ( r - 1) / (  1 + r^2 )

mfg Georg