Wie viele Einheiten gibt es in Z[i]??

Question

3 | Gaußsche Zahlen �
Die Teilmenge Z[i] = {a + ib ∈ C | a, b ∈ Z} ist ein Unterring von C: die Addition und die Multiplikation in C lassen sich auf Z[i] einschränken, und ausgestattet mit diesen Verknüpfungen ist Z[i] ein Ring.
Eine Zahl z ∈ Z[i] ist genau dann in Z[i] eine Einheit, also invertierbar bezüglich der Multiplikation, wenn �z� = 1 ist. Wie viele Einheiten gibt es in Z[i]? ? Zu welcher  Gruppe ist die Einheitengruppe (Z[i])× isomorph?

Answer 1

Sei $z=a+bi$ eine Einheit und $z^{-1}=y=c+di$ ihr Inverses, so dass also

$z\cdot y=1$. Dann gilt $\bar{z}\cdot \bar{y} =\overline {zy}=1$.

Das Prodiukt der Gleichungen liefert

$z\bar{z}\cdot y\bar{y}=1$, also $(a^2+b^2)(c^2+d^2)=1$,

d.h. $a^2+b^2=1$, folglich $((a=\pm 1)\wedge (b=0))\vee (( a=0)\wedge (b=\pm 1))$,

also $z\in \{\pm1,\pm i\}$

Comments

Als Frage: kann man aus ($a^{2}$ + $b^{2}$)($c^{2}$ + $d^{2}$) = 1

auf jeden Fall schließen, dass $a^{2}$ + $b^{2}$ = 1 ist?
Und wenn ja, warum?
LG

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$a^2+b^2$ ist eine nichtnegative ganze Zahl, und die Einheiten in

$\mathbb{Z}$ sind +1 und -1.

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achjaa, danke
schon wieder in der schnelle übersehen, dass a,b nur in ℤ liegen xd