Vollständige Induktion mit Teiler 5

Question

Beweise durch vollständige Induktion:

Für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt: $5 \mid\left(6^{n}-1\right)$.

Ist das richtig/falsch?

IA:

Für n=1

$5 \mid\left(6^{1}-1\right)$ =  $5 \mid\left (5) \right)$ = 1

IS:

Für n=k gilt:    $5 \mid\left(6^{k}-1\right)$.

Für n=k+1 gilt:   $5 \mid\left(6^{k+1}-1\right)$.

IB:

$(6^{k+1}-1$) = $6^{k} * 6^{1}-1$

                      = $5 \mid\left(6*6^{k}-1\right)$

Answer 1

$6^k-1=5z\Rightarrow 6^k=5z+1\Rightarrow$

$6^{k+1}=5z\cdot 6+6=5(6z+1)+1\Rightarrow 6^{k+1}-1=5(6z+1)$

Comments

Danke ermanus

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Ist das jetzt der Induktionsbeweis? WIe sähe der Induktionsschritt aus

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Das ist doch der Induktionsschritt !

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achso, ich meine natürlich wie der Induktionsanfang aussieht

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Der IA ist (so wie du es vermutlich gemeint hast):

$k=1: \; 6^1-1=5\cdot 1$, also ein "Vielfaches" von $5$ ;-)

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Und die Induktionsbehauptung. Also der Schritt vor dem Induktionsschritt? Komme wegen dem z etwas durcheinander

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$z$ ist eine ganze Zahl:

Dass $5$ ein Teiler von $6^k-1$ ist, bedeutet doch dasselbe

wie "$6^k-1$ ist ein ganzzahliges Vielfaches von $5$",

hat also die Gestalt $5z$ mit einer ganzen Zahl $z$.

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okay danke..

Answer 2

Wenn 5|(6ⁿ-1), dann auch 5|(6ⁿ-1)·6 oder 5|(6ⁿ⁺¹-1-5).Dann gilt auch 5|(6ⁿ⁺¹-1).          

Comments

Ist das wirklich korrekt? Bei dir weiß man das manchmal nicht

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Dein Mißtrauen gegenüber meinen Ergebnissen teile ich. Aber diesmal halte ich an meiner Lösung fest.

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Okay danke für Deine Mühen. Würde aber gerne noch eine Antwort von jemand anderem abwarten wollen

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Das ist eine gute Idee.

Answer 3

Beweise durch vollständige Induktion: $$\text{Für alle } n \in \mathbb{N} \text{ gilt: } 5 \mid\left(6^{n}-1\right).$$ Induktionsanfang:
Für $n=0$ gilt $$5 \mid\left(6^{0}-1\right)=0.$$ Induktionsvoraussetzung (oder Induktionsannahme):
Für $n=k$ gilt $$5 \mid\left(6^{k}-1\right).$$ Induktionsbehauptung:
Für $n=k+1$ gilt $$5 \mid\left(6^{k+1}-1\right).$$ Induktionsschluss (oder -beweis oder -schritt):
$$5 \mid \left(6^{k}-1\right) \quad\Rightarrow\\ 5 \mid \left(6^{k}-1\right)\cdot 6 \quad\Rightarrow\\ 5 \mid \left(6^{k+1}-6\right) \quad\Rightarrow\\ 5 \mid \left(6^{k+1}-1-5\right) \quad\Rightarrow\\ 5 \mid \left(6^{k+1}-1\right).$$ Induktionsanfang einen Schritt vorgezogen, Induktionsschluss nach Vorschlag von Roland, Notation nach Vorschlag des Fragers und Schema nach https://www.mathematik.de/algebra/91-erste-hilfe/verzeichnis/beweise….

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Vielen Dank!