Beweise durch vollständige Induktion:
Für alle n∈N n \in \mathbb{N} n∈N gilt: 5∣(6n−1) 5 \mid\left(6^{n}-1\right) 5∣(6n−1).
Ist das richtig/falsch?
IA:
Für n=1
5∣(61−1) 5 \mid\left(6^{1}-1\right) 5∣(61−1) = 5∣(5)) 5 \mid\left (5) \right) 5∣(5)) = 1
IS:
Für n=k gilt: 5∣(6k−1) 5 \mid\left(6^{k}-1\right) 5∣(6k−1).
Für n=k+1 gilt: 5∣(6k+1−1) 5 \mid\left(6^{k+1}-1\right) 5∣(6k+1−1).
IB:
(6k+1−1(6^{k+1}-1 (6k+1−1) = 6k∗61−16^{k} * 6^{1}-1 6k∗61−1
= 5∣(6∗6k−1) 5 \mid\left(6*6^{k}-1\right) 5∣(6∗6k−1)
6k−1=5z⇒6k=5z+1⇒6^k-1=5z\Rightarrow 6^k=5z+1\Rightarrow 6k−1=5z⇒6k=5z+1⇒
6k+1=5z⋅6+6=5(6z+1)+1⇒6k+1−1=5(6z+1)6^{k+1}=5z\cdot 6+6=5(6z+1)+1\Rightarrow 6^{k+1}-1=5(6z+1)6k+1=5z⋅6+6=5(6z+1)+1⇒6k+1−1=5(6z+1)
Danke ermanus
Ist das jetzt der Induktionsbeweis? WIe sähe der Induktionsschritt aus
Das ist doch der Induktionsschritt !
achso, ich meine natürlich wie der Induktionsanfang aussieht
Der IA ist (so wie du es vermutlich gemeint hast):
k=1 : 61−1=5⋅1k=1: \; 6^1-1=5\cdot 1k=1 : 61−1=5⋅1, also ein "Vielfaches" von 555 ;-)
Und die Induktionsbehauptung. Also der Schritt vor dem Induktionsschritt? Komme wegen dem z etwas durcheinander
zzz ist eine ganze Zahl:
Dass 555 ein Teiler von 6k−16^k-16k−1 ist, bedeutet doch dasselbe
wie "6k−16^k-16k−1 ist ein ganzzahliges Vielfaches von 555",
hat also die Gestalt 5z5z5z mit einer ganzen Zahl zzz.
okay danke..
Wenn 5|(6n-1), dann auch 5|(6n-1)·6 oder 5|(6n+1-1-5).Dann gilt auch 5|(6n+1-1).
Ist das wirklich korrekt? Bei dir weiß man das manchmal nicht
Dein Mißtrauen gegenüber meinen Ergebnissen teile ich. Aber diesmal halte ich an meiner Lösung fest.
Okay danke für Deine Mühen. Würde aber gerne noch eine Antwort von jemand anderem abwarten wollen
Das ist eine gute Idee.
Beweise durch vollständige Induktion: Fu¨r alle n∈N gilt : 5∣(6n−1).\text{Für alle } n \in \mathbb{N} \text{ gilt: } 5 \mid\left(6^{n}-1\right). Fu¨r alle n∈N gilt : 5∣(6n−1). Induktionsanfang: Für n=0n=0n=0 gilt 5∣(60−1)=0.5 \mid\left(6^{0}-1\right)=0.5∣(60−1)=0. Induktionsvoraussetzung (oder Induktionsannahme): Für n=kn=kn=k gilt 5∣(6k−1). 5 \mid\left(6^{k}-1\right). 5∣(6k−1). Induktionsbehauptung: Für n=k+1n=k+1n=k+1 gilt 5∣(6k+1−1). 5 \mid\left(6^{k+1}-1\right). 5∣(6k+1−1). Induktionsschluss (oder -beweis oder -schritt): 5∣(6k−1)⇒5∣(6k−1)⋅6⇒5∣(6k+1−6)⇒5∣(6k+1−1−5)⇒5∣(6k+1−1).5 \mid \left(6^{k}-1\right) \quad\Rightarrow\\ 5 \mid \left(6^{k}-1\right)\cdot 6 \quad\Rightarrow\\ 5 \mid \left(6^{k+1}-6\right) \quad\Rightarrow\\ 5 \mid \left(6^{k+1}-1-5\right) \quad\Rightarrow\\ 5 \mid \left(6^{k+1}-1\right). 5∣(6k−1)⇒5∣(6k−1)⋅6⇒5∣(6k+1−6)⇒5∣(6k+1−1−5)⇒5∣(6k+1−1). Induktionsanfang einen Schritt vorgezogen, Induktionsschluss nach Vorschlag von Roland, Notation nach Vorschlag des Fragers und Schema nach https://www.mathematik.de/algebra/91-erste-hilfe/verzeichnis/beweise….
Vielen Dank!
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