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Beweise durch vollständige Induktion:


Für alle nN n \in \mathbb{N} gilt: 5(6n1) 5 \mid\left(6^{n}-1\right) .


Ist das richtig/falsch?


IA:

Für n=1

5(611) 5 \mid\left(6^{1}-1\right) 5(5)) 5 \mid\left (5) \right) = 1


IS:

Für n=k gilt:    5(6k1) 5 \mid\left(6^{k}-1\right) .

Für n=k+1 gilt:   5(6k+11) 5 \mid\left(6^{k+1}-1\right) .


IB:

(6k+11(6^{k+1}-1 ) = 6k6116^{k} * 6^{1}-1

                      = 5(66k1) 5 \mid\left(6*6^{k}-1\right)

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6k1=5z6k=5z+16^k-1=5z\Rightarrow 6^k=5z+1\Rightarrow

6k+1=5z6+6=5(6z+1)+16k+11=5(6z+1)6^{k+1}=5z\cdot 6+6=5(6z+1)+1\Rightarrow 6^{k+1}-1=5(6z+1)

Avatar von 29 k

Danke ermanus

Ist das jetzt der Induktionsbeweis? WIe sähe der Induktionsschritt aus

Das ist doch der Induktionsschritt !

achso, ich meine natürlich wie der Induktionsanfang aussieht

Der IA ist (so wie du es vermutlich gemeint hast):

k=1 :   611=51k=1: \; 6^1-1=5\cdot 1, also ein "Vielfaches" von 55 ;-)

Und die Induktionsbehauptung. Also der Schritt vor dem Induktionsschritt? Komme wegen dem z etwas durcheinander

zz ist eine ganze Zahl:

Dass 55 ein Teiler von 6k16^k-1 ist, bedeutet doch dasselbe

wie "6k16^k-1 ist ein ganzzahliges Vielfaches von 55",

hat also die Gestalt 5z5z mit einer ganzen Zahl zz.

okay danke..

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Wenn 5|(6n-1), dann auch 5|(6n-1)·6 oder 5|(6n+1-1-5).Dann gilt auch 5|(6n+1-1).          

Avatar von 124 k 🚀

Ist das wirklich korrekt? Bei dir weiß man das manchmal nicht

Dein Mißtrauen gegenüber meinen Ergebnissen teile ich. Aber diesmal halte ich an meiner Lösung fest.

Okay danke für Deine Mühen. Würde aber gerne noch eine Antwort von jemand anderem abwarten wollen

Das ist eine gute Idee.

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Beweise durch vollständige Induktion: Fu¨r alle nN gilt :  5(6n1).\text{Für alle } n \in \mathbb{N} \text{ gilt: } 5 \mid\left(6^{n}-1\right). Induktionsanfang:
Für n=0n=0 gilt 5(601)=0.5 \mid\left(6^{0}-1\right)=0. Induktionsvoraussetzung (oder Induktionsannahme):
Für n=kn=k gilt 5(6k1). 5 \mid\left(6^{k}-1\right). Induktionsbehauptung:
Für n=k+1n=k+1 gilt 5(6k+11). 5 \mid\left(6^{k+1}-1\right). Induktionsschluss (oder -beweis oder -schritt):
5(6k1)5(6k1)65(6k+16)5(6k+115)5(6k+11).5 \mid \left(6^{k}-1\right) \quad\Rightarrow\\ 5 \mid \left(6^{k}-1\right)\cdot 6 \quad\Rightarrow\\ 5 \mid \left(6^{k+1}-6\right) \quad\Rightarrow\\ 5 \mid \left(6^{k+1}-1-5\right) \quad\Rightarrow\\ 5 \mid \left(6^{k+1}-1\right). Induktionsanfang einen Schritt vorgezogen, Induktionsschluss nach Vorschlag von Roland, Notation nach Vorschlag des Fragers und Schema nach https://www.mathematik.de/algebra/91-erste-hilfe/verzeichnis/beweise….

Avatar von 27 k

Vielen Dank!

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