Mehrere Funktionen auf lineare Unabhängigkeit prüfen

Question

Aufgabe:

Überprüfen Sie, ob die Vektoren linear unabhängig sind:

p1(z) = 1, p2(z) = z, p3(z) = 2z² −1, p4(z) = 4z³ −3z in C[z]

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht, wie man hier vorgehen soll. Den Nullvektor erhält man wenn man die Funktionen mit 0 multipliziert, aber wie beweise ich, dass es auch mit anderen Zahlen funktioniert?

Answer 1

Die angegebenen Polynomfunktionen liegen in dem Unterraum $U$ von $C[X]$,

der von den Polynomfunktionen $1,z,z^2,z^3$ aufgespannt wird. Diese Monome

sind bekanntermaßen linear unabhängig (bitte Bescheid sagen,

wenn das noch begründet werden soll).

Die Koordinatenvektoren von $p_1,\cdots,p_4$ bzgl. der Monombasis von $U$

sind $(1,0,0,0),(0,1,0,0),(-1,0,2,0),(0,-3,0,4)$, als Zeilenvektoren geschrieben.

Die Matrix, deren Zeilen diese sind, ist eine Dreiecksmatrix mit Determinante $8\neq 0$.

Damit bilden die gegebenen Polynomfunktionen eine Basis von $U$,

sind also linear unabhängig.

Comments

Vielen Dank für die Antwort.

Könntest Du womöglich begründen, weswegen diese Monome linear unabhängig sind?

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Wenn die Monome $1,z,z^2,z^3$ linear abhängig wären, dann gäbe

es komplexe Zahlen $a_0,a_1,a_2,a_3$, nicht sämtlich $=0$, so dass

$a_3z^3+a_2z^2+a_1z +a_0$ die Nullfunktion wäre, dann hätte aber

das Polynom $a_3X^3+a_2X^2+a_1X+a_0$ unendlich viele Nullstellen,

nämlich ganz $\mathbb{C}$. Ein Polynom $\neq 0$ über einem Körper hat

aber maximal so viele Nullstellen, wie sein Grad beträgt.

Answer 2

Linearkombination für den 0-Vektor bilden

a*1+b*z+c*(2z²-1)+d*(4z³-3z)=0

Daraus a=b=c=d=0 schließen, dann sind sie lin. unabh.

Answer 3

yooooo danke, dass du die Frage gestellt hast haha. TU Berlin-Gang

Comments

Ayeee, TU Berlin-Gang!