Kostenfunktion einer Zufallsvariablen

Question

Aufgabe:

Eine Firma hat die Kostenfunktion:

3000+10x+0.5x²

Problem/Ansatz:

Gesucht sind die erwartenden Kosten unter der Annahme, dass x eine Zufallsvariable mit einem Erwartungswert von 60 ist und Standardabweichung 4

Comments

Verwende diese Formel.

vgl. auch https://www.mathelounge.de/873002/

Answer 1

Aloha :)

Ich schrebe den Erwartungswert gerne mit spitzen Klammern, also $\langle A\rangle$ statt $E(A)$, weil ich das übersichtlicher finde.

Hier haben wir folgende Funktion gegeben:$$f(x)=3000+10x+0,5x^2$$und kennen sowohl den Erwartungswert $\left<x\right>$ als auch die Standardabweichung $\sigma(x)$:$$\left<x\right>=60\quad;\quad\sigma(x)=\sqrt{\left<x^2\right>-\left<x\right>^2}=4$$Wir holen uns zunächst den Erwartungswert von $x^2$ aus dem Quadrat der Standardabweichung:$$\left<x^2\right>-\left<x\right>^2=16\quad\implies\quad\left<x^2\right>=16+\left<x\right>^2=16+60^2=3616$$

Nun muss der Erwartungswert von $f(x)$ gebildet werden. Die wichtigste Rechenregel beim Erwartungswert ist, dass dieser linear ist, das heißt für zwei Zufallsgrößen $A$ und $B$ sowie einen konstanten Faktor $c\in\mathbb R$ gelten folgende Regeln:$$\left<A+B\right>\stackrel{(1)}{=}\left<A\right>+\left<B\right>\quad;\quad\left<c\cdot A\right>\stackrel{(2)}{=}c\cdot\left<A\right>$$Mit diesen beiden Regeln haben wir nun:$$\left<f(x)\right>=\left<3000+10x+0,5x^2\right>\stackrel{(1)}{=}\left<3000\right>+\left<10x\right>+\left<0,5x^2\right>$$$$\phantom{\left<f(x)\right>}\stackrel{(2)}{=}3000+10\cdot\left<x\right>+0,5\cdot\left<x^2\right>=3000+10\cdot60+0,5\cdot3616=5408$$