Zeigen Sie: Ist 2^{n}-1 eine Primzahl, dann muss auch n eine Primzahl sein.

Question

Aufgabe:

(a) Gegeben sei \( x \in \mathbb{Z} \). Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass
\( x^{n}-1=(x-1) \sum \limits_{k=0}^{n-1} x^{k} \quad \text { für alle } n \in \mathbb{N} \)
(b) Gegeben sei \( n \in \mathbb{N} \). Zeigen Sie: Ist \( 2^{n}-1 \) eine Primzahl, dann muss auch \( n \) eine Primzahl sein.
Hinweis: Verwenden Sie Aufgabenteil (a).

Answer 1

Kontraposition:

Sei n zusammengesetzt etwa n=a*b

Dann ist 2^n = (2^a)^b

Setze jetzt x=2^a und n=b in die Gleichung in (a) ein, dann sieht man sofort, dass 2^a-1≠1 (da a>1) ein nichttrivialer Teiler (da n>a) von 2^n-1 sein muss. Also ist 2^n - 1 keine Primzahl.

Comments

https://math.stackexchange.com/questions/319963/if-2n-1-is-prime-from-some-integer-n-prove-that-n-must-also-be-prime

https://math.stackexchange.com/questions/2598242/2p-1-then-p-is-a-prime?noredirect=1&lq=1

https://math.stackexchange.com/questions/3144257/if-2k-1-is-prime-then-k-is-prime-using-2m-1-vert-2mn-1?noredirect=1&lq=1

Den Mist findet man schon tausend mal im Netz... was ändert das also? Was rastet ihr deshalb so aus? Euer Dozent hat die Aufgabe auch nur von irgendwo übernommen. Vermutlich sogar das komplette Arbeitsblatt aus einem der Vorjahre..

Wer solche Kommilitonen hat...