Question

Seien V, W Vektorräume, f : V → W linear, A ⊆ V .

Welche der folgenden Aussagen sind wahr?
(1) Wenn A linear unabhängig ist, dann auch f(A).
(2) Wenn f(A) linear unabhängig ist, dann auch A.
(3) Wenn (A) = V , dann gilt auch (f(A)) = W.
(4) Wenn (f(A)) = W, dann gilt auch (A) = V .

Untersuchen Sie welche der Aussagen, die nicht allgemein gelten, unter der Extraannahme, dass f injektiv oder surjektiv ist, allgemein
gültig sind.

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Answer 1

(1) Wenn A linear unabhängig ist, dann auch f(A).   falsch
(2) Wenn f(A) linear unabhängig ist, dann auch A.   wahr
(3) Wenn (A) = V , dann gilt auch (f(A)) = W.         falsch
(4) Wenn (f(A)) = W, dann gilt auch (A) = V .       falsch