Zeige dass: x∘y:=(x+y)/2 (Durchschnittsbildung) eine kommutative, nicht assoziative Operation auf R ist.

Question

Aufgabe:

Zeige dass: x∘y:=(x+y)/2 (Durchschnittsbildung) eine kommutative, nicht assoziative Operation auf R ist. Existiert ein neutrale Element?

Problem/Ansatz:

Kann mir hier jemand weiterhelfen?

Answer 1

kommutativ heißt ja:

Für alle x,y ∈ ℝ gilt x∘y =  y∘x

<=>  (x+y)/2   = (y+x)/2

<=>   x+y =  y+x

und das gilt wegen der Kommutativität von + in R.

Für "nicht assoziativ" reicht ein Gegenbeispiel.

Vergleiche mal (x∘y)∘z   und  x∘(y∘z)

für einige Werte von x,y,z.

neutrales Element e muss eines sein mit

x∘e = x  für alle   x ∈ ℝ

<=>  (x+e)/2 = x

<=>   x+e = 2x

<=>     e=x

Da es aber für alle x das gleiche Element sein muss,

geht das nicht.