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Bestimmen Sie alle Matrizen \(X\), die zu
$$A = \begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}$$kommutativ sind, d. h. für die gilt:$$AX = XA$$

Ich bräuchte vorerst nur die Lösung:

von

Meinst du die Menge der X, die mit jeder Matrix A kommutieren?

Oder nur mit einer bestimmten Matrix A?

Die Matrix A ist konkret gegeben; a,b,c,d sind also Konstanten.

2 Antworten

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Löse die Gleichung

        \(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}\\x_{21}&x_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}\\x_{21}&x_{22}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\).

Tipp. Die Gleichung kann in ein Gleichungssystem mit vier Gleichungen und vier Unbekannten umgewandelt werden.

von 86 k 🚀

Ich bräuchte eine Lösung, keinen Ansatz (außerdem sind es nur drei Gleichungen).

Es sind vier Gleichungen, eine für jede Komponente der Matrix.

Das Gleichungssystem lässt sich mit einem Computeralgebrasystem lösen.

Die erste und letzte Gleichung sind identisch, und das führt zu vielen Fallunterscheidungen.

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$$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ae+bg & af+bh \\ ce+dg & cf+dh\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ea+fc & eb+fd \\ ga+hc & gb+hd\end{pmatrix} \\ ae+bg = ea+fc \\ af+bh = eb+fd \\ ce+dg = ga+hc \\ cf+dh = gb+hd \\ \text{ Das GLS ist unterbestimmt (wurde numerisch gelöst) } \\ \text{ Lösung 1 : b != 0, wähle beliebiges e und f, } g = \frac{cf}{b}, \, h = \frac{f(d-a)}{b} + e\\ \text{ Lösung 2 : b = 0, c != 0, f = 0, wähle beliebiges g und e , } h = \frac{g(d-a)}{c} + e \\ \text{ Lösung 3 : b = 0, c = 0, a!=d, g = 0, f = 0, h und e beliebig }$$

von 3,0 k

Deine Lösung 1 habe ich auch schon, allerdings lässt sie sich besser umschreiben:

$$ g = {cf\over b} \iff {g\over f} = {c\over b} \iff g = kc,~ f = kb $$

(Es gilt: Mit jeder Matrix \(X\) ist auch \(kX\) kommutativ.)

Und dann folgt:

$$ h = {f\left(d-a\right) \over b}+e \iff (e-h) = k\left(a-d\right) $$ (Differenz der Hauptdiagonalen ist einprägsamer.)

Noch besser wäre eine Lösung der Art: \( e = \dots\) und \(h = \dots\), dann könnte man alle Variablen direkt berechnen, anstatt nur Zusammenhänge zu haben.

Deine Fallunterscheidung scheint unvollständig zu sein. Was gilt z.B. für \( a = d \)?

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