Binomische Formel mit Exponent n in der Klammer. Grenzwert von: (√3*10^n - 1)^2 / 10^{2n}

Question

Ich soll den Grenzwert dieser Zahlenfolge bestimmen:

\( \frac{\left(\sqrt{3} * 10^{n}-1\right)^{2}}{10^{2 n}} \)

Nun stellt sich mir die Frage, ob im Zähler eine binomische Formel steckt.

Als Ergebnis soll 3 rauskommen. Was passiert, wenn ich z.B. 10^2n ausklammere, mit dem Nenner?

Steht dann da eine 1 oder 0?

Answer 1

Vereinfache den Term z.B. folgendermassen (Potenzgesetze)

 (√3*10^n - 1)^2 / 10^{2n}

=  (√3*10^n - 1)^2 / (10^{n} )^2

=  ( (√3*10^n - 1) / (10^{n} )^2          |Bruch in der Wurzel oben und unten durch 10^n

=  ( (√3 - 1/10^n) /  1 )^2 

 

=  ( √3 - 1/10^n )^2 

Jetzt n-----> unendlich

Limes  ( √3 - 1/10^n )^2  = (√3)^2 = 3