Vektorräume Basis und Dimension

Question

und zwar möchte ich diese Aufgabe bearbeiten jedoch weiß ich nicht wie ich bei der a) auf dieses S kommen soll. Ich hab auch schon die Zeilen Spalten und Diagonalen miteinander addiert und subtrahiert und komme jedoch auf nichts gescheites. Bei der b) kann ich da die Nullmatrix verwenden oder müsste ich es allgemeiner machen, weil es ja für mehr als nur die Nullmatrix gelten soll. Und wie genau ich dann vorgehen muss weiß ich auch nicht so recht. Bei der c) wäre dann die Basis 3 und die Dimension auch 3?

Wir nennen eine Matrix
\( A=\left(\begin{array}{lll} x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ x_{4} & x_{5} & x_{6} \\ x_{7} & x_{8} & x_{9} \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3 \times 3} \)
ein magisches Quadrat, falls alle Zeilensummen, Spaltensummen und die beiden Diagonalsummen \( x_{1}+x_{5}+x_{9} \) und \( x_{3}+x_{5}+x_{7} \) übereinstimmen. Der Wert dieser Summen heißt magische Zahl und wir schreiben \( S \) hierfür.
a) Zeigen Sie, dass für ein magisches Quadrat stets \( S=3 x_{5} \) gilt.
b) Zeigen Sie, dass die Menge \( M \subseteq \mathbb{R}^{3 \times 3} \) aller magischen Quadrate ein Vektorraum ist.
c) Bestimmen Sie eine Basis und die Dimension von \( M \).

Answer 1

Du kannst ja mal erst die 8 Gleichungen notieren,

die das "Magische" begründen, also

        \( x_{1}+x_{5}+x_{9}   = S \)

und   \( x_{3}+x_{5}+x_{7} = S  \)

und   \( x_{3}+x_{2}+x_{3} = S \)

und und   \( x_{1}+x_{4}+x_{7} = S \)

etc.

Zeige, dass aus diesen 8 Gleichungen  \( 3x_{5} = S \)

herzuleiten ist.