Vorliegen von schrägen Asymptoten untersuchen

Question

Aufgabe:

Es sei f : R→Rdefiniert durch

f(x) =\( \frac{3x^2+ 2x + sin(x)}{|x|+ 1 } \)  

Problem/Ansatz:

Untersuchen Sie die Funktion auf das Vorliegen von schrägen Asymptoten für x → ∞
und für x →−∞ und geben Sie diese gegebenenfalls an.

Answer 1

Aloha :)

1. Fall: \(x\ge0\):$$f(x)=\frac{3x^2+2x+\sin x}{x+1}=\frac{3x^2+2x}{x+1}+\frac{\sin x}{x+1}=\frac{3x^2+3x}{x+1}-\frac{x}{x+1}+\frac{\sin x}{x+1}$$$$\phantom{f(x)}=\frac{3x(x+1)}{x+1}-\frac{(x+1)-1}{x+1}+\frac{\sin x}{x+1}=3x-\left(1-\frac{1}{x+1}\right)+\frac{\sin x}{x+1}$$Da \(-1\le\sin x\le 1\) konvergieren die beiden Brüche mit \(x+1\) im Nenner für \(x\to\infty\) gegen \(0\), das heißt für \(x\gg0\) finden wir die Asymptote:$$a_1(x)=3x-1$$

2. Fall: \(x<0\)$$f(x)=\frac{3x^2+2x+\sin x}{-x+1}=-\frac{3x^2+2x+\sin x}{x-1}=-\left(\frac{3x^2+2x}{x-1}+\frac{\sin x}{x-1}\right)$$$$\phantom{f(x)}=-\left(\frac{3x^2-3x}{x-1}+\frac{5x}{x-1}+\frac{\sin x}{x-1}\right)=-\left(\frac{3x(x-1)}{x-1}+\frac{(5x-5)+5}{x-1}+\frac{\sin x}{x-1}\right)$$$$\phantom{f(x)}=-\left(3x+5+\frac{5}{x-1}+\frac{\sin x}{x-1}\right)$$Für \(x\to-\infty\) konvergieren wieder die Brüche mit \((x-1)\) im Nenner gegen \(0\), das heißt für \(x\ll0\) haben wir die Asymptote:$$a_2(x)=-3x-5$$

~plot~ (3x^2+2x+sin(x))/(abs(x)+1) ; 3x-1 ; -3x-5 ; [[-10|10|-1|25]] ~plot~

Answer 2

Führe für x>0 die Partialdivision \( \frac{3x^2+ 2x + sin(x)}{x+ 1 } \) durch und bestimme den linearen Anteil.

Führe für x<0 die Partialdivision \( \frac{3x^2+ 2x + sin(x)}{-x+ 1 } \) durch und bestimme den linearen Anteil.