Zeigen Sie: Die Reihe \sum \limitsk=0\infty ak konvergiert genau dann, wenn ...

Question

Aufgabe:

Sei $\left(a_{n}\right)$ eine monoton fallende Folge nichtnegativer Zahlen, d.h. für jedes $n \in \mathbb{N}$ gilt $0 \leq a_{n+1} \leq$ $a_{n}$. Zeigen Sie:

1. Die Reihe $\sum \limits_{k=0}^{\infty} a_{k}$ konvergiert genau dann, wenn die Reihe $\sum \limits_{k=0}^{\infty} 2^{k} a_{2^{k}}$ konvergiert.
2. Ist die Reihe $\sum \limits_{k=0}^{\infty} a_{k}$ konvergent, so gilt $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$.
3. Zeigen Sie, dass die Reihe $\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k \sqrt{k}}$ konvergent ist.

Ansatzt: Dazu soll man fur 2 und 3, 1 verwenden, hat wer vielleicht eine idee dazu?

Answer 1

Hallo,

für $2^k \leq n < 2^{k+1}$ gilt: $na_n \leq 2^{k+1}a_{2^k}=2 \cdot 2^ka_{2^k}$

Wenn also die Reihe über die $a_n$ konvergiert, konvergiert nach (1) auch die Reihe über $2^ka_{2^k}$; diese Folge geht also gegen 0 und damit auch $na_n$.

Was (3) angeht: Wenn $a_k=\frac{1}{k \sqrt{k}}$ ist, kannst Du dafür sicher den Term $2^ka_{2^k}$ aufstellen und vereinfachen.

Gruß Mathhilf