Schwierigleiten bei Integralrechnung

Question

Folgende Übungen habe ich zu Integralrechnung bekommen. Ich wäre euch dankbar, wenn ihr mir bei der Bearbeitung helfen könntet!

Aufgabe:

gegeben ist die Funktion f(x)= -x^4+5x^2-4.

1) Geben Sie das Verhalten des Funktionsgraphen im Unendlichen sowie die Schnittstellen mit den Achsen, Extrema an.

2) Berechnen Sie schriftlich den Flächeninhalt, der vom Funktionsgraphen und der x-Achse eingeschlossen wird.

Danke!

Comments

Wobei genau hast du Probleme, Globalverhalten, Bestimmung der Nullstellen, der Extremstellen, Bildung der Stammfunktion?

Answer 1

Die Nullstellen bestimmt man mit der p-q Formel, indem man \( z = x^2 \) substituiert und diese Substitution anschliessend wieder rückgängig macht. Damit hast Du die Integrationsgrenzen bestimmt.

Nun jeweils einzeln die Beträge der Flächen zwischen den Nullstellen bestimmen.

Kontrolle, Ergebnis ist \( = 8 \)

Answer 2

Ich empfehle auch immer einen Graphen zu skizzieren. Dabei kann man näherungsweise schon alle Antworten ablesen.

~plot~ -x^4+5x^2-4;[[-3|3|-5|3]] ~plot~

Verhalten im Unendlichen
Der Graph verläuft von links unten nach rechts unten

Y-Achsenabschnitt
y = -4

Nullstellen
x = -2 ; x = -1 ; x = 1 ; x = 2

Extrempunkte ca.
HP(-1.6 | 2.3) ; TP(0 | -4) ; HP(1.6 | 2.3)

Fläche
A = 8 FE

Answer 3

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Die Funktion$$f(x)=-x^4+5x^2-4$$hat nur gerade Exponenten und ist daher achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.

Verhalten im Unendlichen:

Da der dominierende Summand \(-x^4\) für \(x\to\pm\infty\) gegen \(-\infty\) tendiert, fällt die Funktion sowohl für \(x\to-\infty\) als auch für \(x\to+\infty\) ins negative Unendliche \((-\infty)\).

Nullstellen:

Ihre Nullstellen kannst du z.B. nach Zerlegung in Linearfaktoren:$$f(x)=-(x^4-5x^2+4)=-(x^2-4)(x^2-1)=-(x+2)(x-2)(x+1)(x-1)$$ablesen:\(\quad N(-2|0)\quad;\quad N(-1|0)\quad;\quad N(1|0)\quad;\quad N(2|0)\)

Extrema:

Kandidaten für Extremstellen findest du dort, wo die erste Ableitung verschwindet:$$0\stackrel!=f'(x)=-4x^3+10x=-4x\left(x^2-\frac52\right)=-4x\left(x+\sqrt{\frac52}\right)\left(x-\sqrt{\frac52}\right)$$Damit haben wir 3 Kandidtan:\(\quad x_1=-\sqrt{\frac52}\quad;\quad x_2=+\sqrt{\frac52}\quad;\quad x_3=0\)

Die zweite Ableitung \(f''(x)=-12x^2+10\) gibt Auskunft über die Art der Extrema:

$$f''(-\sqrt{5/2})=-20<0\implies\text{Max}\left(-\sqrt{\frac52}\bigg|\frac94\right)$$$$f''(0)=10>0\implies\text{Min}\left(0|-4|\right)$$$$f''(\sqrt{5/2})=-20<0\implies\text{Max}\left(\sqrt{\frac52}\bigg|\frac94\right)$$

Flächeninhalt:

Wenn der Graph oberhalb der \(x\)-Achse verläuft, ist das Integral positiv. Wenn der Graph unterhalb der \(x\)-Achse verläuft, ist das Integral negativ. Bei der Bestimmung der Fläche zwischen dem Graphen und der \(x\)-Achse musst du daher von einer Nullstelle zur nächsten integrieren und von jedem einzelnen Integral den Betrag nehmen:

$$F=\left|\int\limits_{-2}^{-1}f(x)\,dx\right|+\left|\int\limits_{-1}^{1}f(x)\,dx\right|+\left|\int\limits_{1}^{2}f(x)\,dx\right|$$Wegen der Achsensymmetrie der Funktion, ist das Integral über \([-2|-1]\) genau so groß wie das Integral über \([1|2]\):

$$F=\left|\int\limits_{-1}^{1}f(x)\,dx\right|+2\cdot\left|\int\limits_{1}^{2}f(x)\,dx\right|$$$$\phantom{F}=\left|\left[-\frac{x^5}{5}+\frac53x^3-4x\right]_{-1}^{1}\right|+2\cdot\left|\left[-\frac{x^5}{5}+\frac53x^3-4x\right]_{1}^{2}\right|$$$$\phantom{F}=\left|-\frac{38}{15}-\frac{38}{15}\right|+2\left|-\frac{16}{15}+\frac{38}{15}\right|=\frac{76}{15}+2\cdot\frac{22}{15}=\frac{120}{15}=8$$