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Aufgabe:

Zeigen Sie für alle kN0,xR k \in \mathbf{N}_{0}, x \in \mathbf{R}
(2kk)=(4)k(1/2k),(xk)=(1)k(x+k1k). \left(\begin{array}{c} 2 k \\ k \end{array}\right)=(-4)^{k}\left(\begin{array}{c} -1 / 2 \\ k \end{array}\right), \quad\left(\begin{array}{c} -x \\ k \end{array}\right)=(-1)^{k}\left(\begin{array}{c} x+k-1 \\ k \end{array}\right) .

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Das würde ich mit Induktion über k versuchen.

Gruß lul

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(nk)=1k!i=nk+1ni=1k!i=nn+k1i=1k!(1)ki=nn+k1i=(1)k(kn1k)\begin{aligned} \left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)=\frac{1}{k !} \cdot \prod \limits_{i=n-k+1}^{n} i=\frac{1}{k !} \cdot \prod \limits_{i=-n}^{-n+k-1}-i=\frac{1}{k !}(-1)^{k} \prod \limits_{i=-n}^{-n+k-1} i=(-1)^{k}\left(\begin{array}{c}k-n-1 \\ k\end{array}\right)\end{aligned}

Nun kannst du einfach n=xn=-x setzen.

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