Aufgabe:
Zeigen Sie für alle k∈N0,x∈R k \in \mathbf{N}_{0}, x \in \mathbf{R} k∈N0,x∈R(2kk)=(−4)k(−1/2k),(−xk)=(−1)k(x+k−1k). \left(\begin{array}{c} 2 k \\ k \end{array}\right)=(-4)^{k}\left(\begin{array}{c} -1 / 2 \\ k \end{array}\right), \quad\left(\begin{array}{c} -x \\ k \end{array}\right)=(-1)^{k}\left(\begin{array}{c} x+k-1 \\ k \end{array}\right) . (2kk)=(−4)k(−1/2k),(−xk)=(−1)k(x+k−1k).
Das würde ich mit Induktion über k versuchen.
Gruß lul
(nk)=1k!⋅∏i=n−k+1ni=1k!⋅∏i=−n−n+k−1−i=1k!(−1)k∏i=−n−n+k−1i=(−1)k(k−n−1k)\begin{aligned} \left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)=\frac{1}{k !} \cdot \prod \limits_{i=n-k+1}^{n} i=\frac{1}{k !} \cdot \prod \limits_{i=-n}^{-n+k-1}-i=\frac{1}{k !}(-1)^{k} \prod \limits_{i=-n}^{-n+k-1} i=(-1)^{k}\left(\begin{array}{c}k-n-1 \\ k\end{array}\right)\end{aligned} (nk)=k!1⋅i=n−k+1∏ni=k!1⋅i=−n∏−n+k−1−i=k!1(−1)ki=−n∏−n+k−1i=(−1)k(k−n−1k)
Nun kannst du einfach n=−xn=-xn=−x setzen.
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