Parameter der Flugbahn

Question

Aufgabe:

Die Flugbahn einer Kugel kann annähernd durch eine quadratische Funktion beschrieben werden

y=b1+b2⋅x+b3⋅x2,
wobei x die zurückgelegten Meter der Kugel, y die Höhe der Kugel in Metern, und b1,b2,b3 die Parameter der Kugel bezeichnen.

Es liegen folgende vier empirische Messungen vor:

Problem/Ansatz:

a. Ermitteln Sie den Parameter b1 der Flugbahn. 6.33?
b. Ermitteln Sie den Parameter b2 der Flugbahn. 21.5?
c. Ermitteln Sie den Parameter b3 der Flugbahn. -0.87?
d. Welche Flughöhe erreicht die Kugel nach 22 Metern?
e. In welcher Entfernung trifft die Kugel auf dem Boden auf?

Ich habe Wolfram Alpha verwendet um dieses Problem zu lösen. Leider halte ich das Ergebnis aber für falsch. Und wie kann ich die Aufgaben d und e lösen?

Answer 1

Aloha :)

Du hast hier ein übebestimmtes Gleichungssystem, d.h. mehr Gleichungen als Variablen:$$\left(\begin{array}{rrr}1 & 3 & 9\\1 & 6 & 36\\1 & 12 & 144\\1 & 15 & 225\end{array}\right)\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}63\\104\\139\\129\end{pmatrix}$$Diese kannst du im Sinne der Gauß'schen kleinsten Quadrate lösen, indem du von links mit der transponierten Koeffizientenmatrix multiplizierst.:$$\left(\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 & 1\\3 & 6 & 12 & 15\\9 & 36 & 144 & 225\end{array}\right)\left(\begin{array}{rrr}1 & 3 & 9\\1 & 6 & 36\\1 & 12 & 144\\1 & 15 & 225\end{array}\right)\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}=\left(\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 & 1\\3 & 6 & 12 & 15\\9 & 36 & 144 & 225\end{array}\right)\begin{pmatrix}63\\104\\139\\129\end{pmatrix}$$$$\left(\begin{array}{rrr}4 & 36 & 414\\36 & 414 & 5346\\414 & 5346 & 72738\end{array}\right)\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}435\\4416\\53352\end{pmatrix}$$Dieses Gleichungssystem ist eindeutig lösbar:$$\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}=\frac{1}{90}\begin{pmatrix}306\\2031\\-85\end{pmatrix}$$

Die Flugbahn wird also am besten beschrieben durch:$$y(x)=\frac{1}{90}\left(306+2031x-85x^2\right)$$

Plotlux öffnen

P(3|63)P(6|104)P(12|139)P(15|129)f₁(x) = (306+2031x-85x²)/90Zoom: x(-1…26) y(0…140)

Nach $x=22$ Metern beträgt die Höhe $y(22)=\frac{1924}{45}\approx42,76$ Meter.

Die zweite Nullstelle der Parabel liegt bei $x\approx24,04$ Meter, also trifft die Kugel dort auf den Boden auf.

Comments

Hallo, ich wollte mich bei dir für deine ausführliche Erklärung bedanken. Du hast mir wirklich sehr geholfen!

Answer 2

Hallo

die Bahn geht durch die ersten 3 Punkte, nicht durch den 4 ten!

Wie sollt ihr rechnen? Ausgleichsrechnung? oder nur 3 Punkte?

wenn es mt 3 Punkten sein soll dann einfach f(x)=0 bestimmen mit der annähme, dass y=0 der Boden ist, wie üblich,

Gruß lul