Berechne die Partialbruchzerlegung

Question

Aufgabe:

Geben Sie die Partialbruchzerlegung nachfolgender Funktion

$f(x)=\frac{6 x^{3}+9 x^{2}+2}{x^{2}-6 x+8}$

Problem/Ansatz:

Answer 1

Aloha :)

$$f(x)=\frac{6x^3+9x^2+2}{x^2-6x+8}$$Im ersten Schritt muss der Grad des Zähler-Polynoms kleiner als der Grad des Nenner-Polynoms sein. Das kannst du mit einer Polynomdivision erreichen:$$f(x)=6x+45+\frac{222x-358}{(x-4)(x-2)}$$Den verbliebenen Bruch kannst du wie folgt zerlegen:$$\frac{222x-358}{(x-4)(x-2)}=\frac{A}{x-4}+\frac{B}{x-2}$$$$A=\left.\frac{222x-358}{\cancel{(x-4)}(x-2)}\right|_{x=4}=\frac{530}{2}=265$$$$B=\left.\frac{222x-358}{(x-4)\cancel{(x-2)}}\right|_{x=2}=\frac{86}{-2}=-43$$

Damit haben wir folgende Zerlegung gefunden:$$f(x)=\frac{6x^3+9x^2+2}{x^2-6x+8}=3x+45+\frac{265}{x-4}-\frac{43}{x-2}$$