Lineare Abbildung zeigen bearbeiten beweisen

Question

Aufgabe:

(i) Seien $f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m}$ und $g: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{k}$ lineare Abbildungen. Zeigen Sie, dass $g \circ f$ eine lineare Abbildung ist.

(ii) Betrachten Sie die Projektion proj $_{G}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$ auf eine Gerade $G$. Folgern Sie, dass proj $_{G}^{2}:=\operatorname{proj}_{G} \circ \operatorname{proj}_{G}$ eine lineare Abbildung ist, und zeigen Sie, dass proj $_{G}^{2}=$ proj $_{G}$ gilt

(iii) Für $\alpha \in \mathbb{R}$ betrachten wir die Drehmatrix $D_{\alpha} \in \mathrm{M}_{2,2}(\mathbb{R})$, die durch
$D_{\alpha}=\left(\begin{array}{cc} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right)$
definiert ist. Zeigen Sie, dass für $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ die Gleichungen
$D_{\alpha} D_{\beta}=D_{\alpha+\beta}=D_{\beta} D_{\alpha}$
erfüllt sind.
Hinweis: Verwenden Sie die Additionstheoreme für die Winkelfunktionen.

Problem/Ansatz:

Kann mir bitte einer bei den Aufgaben helfen :/ erklären wie man vor gehen könnte bei den Aufgaben wäre sehr hilfreich

Comments

S.74-75 im Skript

werden die Meisten hier nicht kennen.

Answer 1

$\left(\begin{array}{cc}\cos \alpha & -\sin \alpha \\\sin \alpha & \cos \alpha\end{array}\right)$

Berechne einfach D_α · D_ß =

$\left(\begin{array}{cc}\cos \alpha & -\sin \alpha \\\sin \alpha & \cos \alpha\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{cc}\cos \beta & -\sin \beta \\\sin \beta & \cos \beta\end{array}\right)$

= $\left(\begin{array}{cc}\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha\sin \beta & ...\\ .... & ...\end{array}\right)$

und vergleiche mit den Additionstheoremen.