Zeigen Sie: Der Grenzwert von a_n ist 0

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie:

$$ \lim\limits_{n\to\infty} a_n= \lim\limits_{n\to\infty} (\sqrt{n+1000} - \sqrt{n}) = 0 $$

$$ \lim\limits_{n\to\infty} b_n= \lim\limits_{n\to\infty} (\sqrt{n+\frac{n}{1000}} - \sqrt{n}) = \infty $$

Problem/Ansatz:

Bei ersten habe ich umgeformt und kam dann irgendwann auf:

$$ \lim\limits_{n\to\infty} \frac{1000}{(\sqrt{n+1000} + \sqrt{n})} $$

reicht das um sagen zu können, dass der Grenzwert 0 ist?

Und beim zweiten komm ich nicht wirklich weiter. Würde mich freuen über hilfe :)

Answer 1

Aloha :)

Ich würde im Nenner noch \(\sqrt n\) ausklammern, damit wirklich klar wird, dass der Nenner gegen \(\infty\) konvergiert.

$$a_n=\sqrt{n+1000}-\sqrt n=\frac{(\sqrt{n+1000}-\sqrt n)(\sqrt{n+1000}+\sqrt n)}{\sqrt{n+1000}+\sqrt n}=\frac{(n+1000)-n}{\sqrt{n+1000}+\sqrt n}$$$$\phantom{a_n}=\frac{1000}{\sqrt{n+1000}+\sqrt n}=\frac{1000}{\sqrt{n}\left(\sqrt{1+\frac{1000}{n}}+1\right)}\to0$$$$b_n=\sqrt{n+\frac{n}{1000}}-\sqrt n=\sqrt n\left(\sqrt{1+\frac{1}{1000}}-1\right)=\sqrt n\cdot\underbrace{(\sqrt{1,001}-1)}_{=\text{const}}\to\infty$$

Comments

Danke!

War etwas verwirrt, da im Skript davon überhaupt nichts steht und ich nicht wusste, ob es trivial ist, dass √n z.B. gegen unendlich geht.

Answer 2

reicht das um sagen zu können, dass der Grenzwert 0 ist?

ja, Nenner geht gegen unendlich und Zähler ist konstant.

Bei dem anderen kannst du doch √n ausklammern .

Comments

Käme man dann auf √n * √(1/1000)?

Das wäre ja dann bestimmt divergent gegen unendlich, da Zähler gegen unendlich geht und Nenner konstant bleibt.