Behauptung:
Sei X⊆Z eine nichtleere Menge mit folgenden
Eigenschaften:
(1): a,b∈X⇒a+b∈X und
(2): a∈X,n∈Z⇒na∈X.
Dann gibt es eine ganze Zahl d∈X, so dass
X={n⋅d : n∈Z} ist.
Für d kann man die kleinste positive Zahl in X wählen.
So sieht erst einmal eine einigermaßen klare Aufgabenstellung aus.
Beweis:
Sei d∈X die kleinste positive Zahl in X. Eine solche existiert,
da X=∅. Ist also x∈X. dann ist auch −x∈X wegen (2).
Den trivialen Fall X={0} lasse ich hier mal außenvor.
Dann enthält X eine positive ganze Zahl. In jeder
Menge positiver ganzer Zahlen gibt es ein kleinstes Element d.
Sei nun x∈X ein beliebiges Element von X. Dann liefert
Division von x durch d ganze Zahlen q und r
mit x=qd+r, wobei 0≤r<d gilt.
Da d∈X ist, folgt mit (2): −qd∈X, also nach (1):
r=x+(−qd)∈X. Da aber d die kleinste pos. Zahl in X ist,
muss "notgedrungen" r=0 sein., d.h. x=qd, oder anders
ausgedrückt: d∣x, q.e.d.