Beweisen Sie folgende Aussagen a,b ∈ X ⇒ (a + b) ∈ X und a ∈ X und n ∈ ℤ ⇒ na ∈ X für X ⊆ ℤ nicht leer

Question

Hallo ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe, besser gesagt fühle ich hier bei zwei nicht so wirklich, daher habe ich sie unten einmal angefügt.

Hier die Aufgabe vom Blatt

[10 Punkte] Führen Sie nachfolgende Beweise nachvollziehbar durch! Für nachfolgende Aufgaben gilt das X ⊆ ℤ nicht leer ist. Beweisen Sie nun und beachten Sie das d die kleinste positive Zahl in X ≠ {0} sein darf, dann teilt d jede Zahl in X.

A1.1) a,b ∈ X ⇒ (a + b) ∈ X

[...]

A1.4) a ∈ X und n ∈ ℤ ⇒ na ∈ X

Falls jemand weiß wie man das macht, wäre ich sehr dankbar.

Beste grüße und schon jetzt vielen herzlichen Dank!

P.S. Hoffe das ich alles richtig gepostet habe, da es mein erster Eintrag hier ist...

Comments

Ist über das X nichts gesagt, außer, dass es nicht leer ist.

Soll X eine Menge von Vielfachen sein, oder was ?

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Nein die Angabe ist 1:1 vom Blatt kopiert.

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Sind A 1.1 bis A 1.4 Voraussetzungen, denen X genügen soll?
Und soll man unter diesen Voraussetzungen vielleicht zeigen,
dass X dann die Menge alle gazzahligen Vielfachen eines kleinsten
Elementes d von X ist?

Answer 1

Gegenbeispiel:

Es sei X={2;3}. Das ist eine nicht-leere Teilmenge von ℤ.

d=2 ist die kleinste positive Zahl in X ≠ {0}, aber d teilt nicht 3.

Außerdem gilt auch a,b ∈ X ⇒ (a + b) ∈ X nicht, denn

2∈X ∧ 3∈X aber 5∉X.

Comments

Danke einmal für die Antwort, musste das erst nachvollziehen. Heißt das jetzt, das ich hier jetzt weitere Zahlen in die Menge aufnehmen muss, das die Aussage stimmt?

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Blödsinn, fällt mir gerade auf, das geht ja gar nicht, die erste Aussage ist also falsch oder wie? Aber warum steht dann in der Angabe man solle Beweisen. Oder denke ich einfach komplett falsch?

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Das bedeutet wohl eher, dass der richtige Kontext
klarer wird, wenn du in den davorstehenden Aufgaben
deines Aufgabenzettels nachschaust, ob dort etwas über
X etc. steht. So gibt die Sache keinen Sinn !

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Ich hab beim kopieren einen Fehler gemacht,

Vor der Aufgabe A1.1) steht noch:

Für die Menge X gilt:

A1.1) a,b ∈ X ⇒ (a + b) ∈ X

Hilft uns das weiter?

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Ja. X soll also eine niichtleere Teilmenge der ganzen Zahlen
sein, die die Eigenschaften A 1.1 bis A 1.4 hat.
Und aus diesen Eigenschaften soll geschlossen werden, dass
es ein Element d in X gibt, so dass X die Menge der Vielfachen
von d ist.

A1.1 und A 1.4 hast du angegeben.
Was ist mit A 1.2 und A 1.3?

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Hab nur bei 1 und 4 ne Frage, die anderen beiden sind Theorie über die Lösung die Professorin nummeriert komisch, allgemein sind die Aufgaben oft kompliziert gestellt...

Aber ich verstehe es immer noch nicht so ganz. Hab mir das jetzt grad versucht, deshalb erst jetzt geantwortet. Die 1 muss ja eine wahre Aussage sein, aber a + b muss dann ja eine Teilmenge sein oder nicht

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OK. Du meinst also, man solle 1.1 und 1.4 annehmen, d.h.

X soll die Eigenschaften 1.1 und 1.4 besitzen.

Daraus soll man nun schließen, dass für das kleinste positive

d in X gilt: X ist die Menge aller ganzzahligen Vielfachen von d.

So verstehe ich jetzt den Aufgabentext. Warum er so

seltsam formuliert ist, sei mal dahin gestellt.

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Ich komm da trotzdem nicht so recht mit, d in X sind die Mengen der ganzzahligen Vielfachen von d, aber welche gibts da.

Wenn ich die Aufgabe so beweise wie oben in der Antwort hier im Forum, dann habe ich ja eine Falsche Aussage, aber Sie muss ja korrekt sein. Aber wie schaffe ich das, denn wennn ich eine Menge annehme zum Beispiel mit X {1,2} und dann für a = 1 einsetze und für b = 2, dann ist ja a + b = 3 und 3 ist dann ja keine Teilmenge von X...

Warum begreife ich das nicht?!?

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Naja, X={2,3} oder X={1,2} erfüllen ja gar nicht die Voraussetzungen
A 1.1 und A 1.4. Das hat ja mathef klar gezeigt.
Wenn ich aber für X fordere, dass X diese Eigenschaften erfüllt,
kann ich sehr wohl zeigen, dass es dann ein solches d gibt und
ich sogar d konkret als kleinstes positives Element in X
nehmen kann.

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Also das heißt ich müsste bei X noch ein Element hinzufügen nämlich 3 also X = {1,2,3}?

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Nein. Das würde nicht reichen; denn wenn 1 in X liegt, liegt ja
wegen A 1.4 auch z \(\cdot\) 1=z in X für alle ganzen Zahlen z, also ist
in dem Falle X=Z, die Menge der ganzen Zahlen.

Aber X=2Z={...,-4,-2,0,2,4,...} wäre auch so eine Menge, die 1.1 und 1.4
erfüllt. Dann kann man d=2 nehmen.
Und du sollst nun zeigen, dass jegliche Menge X, die die Voraussetzungen
erfüllt, vom gleichen Typ ist.

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Aber welcher wert ist dann n. Ich komm glaub ich jetzt gar nicht mehr mit. Ich versuche einmal wiederzugeben was ich jetzt schreiben würde, ich betrachte die Aufgaben aber getrennt nämlich hätte ich bei der ersten jetzt für

X = {1,2,3} angenommen

Sei a=1 und b=2, so ist 3 Element von X

und für die andere Aufgabe ist jetzt die Frage was setze ich für n ein.

Oder wie hättest du das gelöst?

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Ich verstehe nicht, wieso du meinst, dass das zwei
Aufgaben sind ....

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Ja weil das kompliziert verfasst war, aber ja es steht ja das die Menge X für alle gilt. Mann, Mann, Mann, heut ist nicht mein Tag...

Ja gut dann muss ich für n in der zweiten einen wert Einsetzen, das n*a ein Element von I ist oder. Und diesen Wert dann auch noch in die Menge von X eintragen?

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Ich schreibe mal eine Antwort als Antwort.

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Ok, dann gucke ich mir das dann mal an. Bevor ich endgültig aufgab...

Answer 2

Behauptung:

Sei \(X\subseteq\mathbb{Z}\) eine nichtleere Menge mit folgenden
Eigenschaften:
(1): \(a,b\in X\Rightarrow a+b\in X\) und
(2): \(a\in X, \; n\in \mathbb{Z}\Rightarrow na\in X\).
Dann gibt es eine ganze Zahl \(d\in X\), so dass
\(X=\{n\cdot d\; :\; n\in \mathbb{Z}\}\) ist.
Für \(d\) kann man die kleinste positive Zahl in \(X\) wählen.

So sieht erst einmal eine einigermaßen klare Aufgabenstellung aus.

Beweis:

Sei \(d\in X\) die kleinste positive Zahl in \(X\). Eine solche existiert,

da \(X\neq \emptyset\). Ist also \(x\in X\). dann ist auch \(-x\in X\) wegen (2).

Den trivialen Fall \(X=\{0\}\) lasse ich hier mal außenvor.

Dann enthält \(X\) eine positive ganze Zahl. In jeder

Menge positiver ganzer Zahlen gibt es ein kleinstes Element \(d\).

Sei nun \(x\in X\) ein beliebiges Element von \(X\). Dann liefert

Division von \(x\) durch \(d\) ganze Zahlen \(q\) und \(r\)

mit \(x=qd+r\), wobei \(0\leq r\lt d\) gilt.

Da \(d\in X\) ist, folgt mit (2): \(-qd\in X\), also nach (1):

\(r=x+(-qd)\in X\). Da aber \(d\) die kleinste pos. Zahl in \(X\) ist,

muss "notgedrungen"  \(r=0\) sein., d.h. \(x=qd\), oder anders

ausgedrückt: \(d\; | \; x\), q.e.d.

Comments

Alles klar, dann schaue ich einmal ob ich jetzt weiter komme, sonst warte ich einmal auf den Beweis.

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Kann ich dann für d = 1 wählen?

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Nein; denn z.B. \(X=\{2z: \; z\in \mathbb{Z}\}\) erfüllt

die beiden Bedingungen (1) und (2), es ist aber \(1\notin X\).

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2n oder, aber ich muss trotzdem auf deinen Beweis warten, denn ich komm selbst nicht drauf.

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In diesem Beispiel kannst du d=2 oder d=-2 wählen, aber d=2

ist offenbar die kleinste positive Zahl in X.

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Was weißt du über "Division mit Rest" in der Menge
der ganzen Zahlen?

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Meinst du jetzt den Modulo?

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Das hat zwar was damit zu tun, Ich meine aber Folgendes:

Sind \(a\) und \(b>0\) zwei ganze Zahlen. Dann gibt es ganze Zahlen

\(q\) und \(r\) mit \(a=bq+r\) mit \(0\leq r\lt b\).

Das kennst du im Prinzip aus der Grundschule:

Man dividiert a durch b soweit es geht. Dann geht die

Division auf oder es bleibt ein Rest r.

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Ok, aber ich versteh einfach trotzdem noch nicht wie ich jetzt den passenden beweis dazu abliefern kann.

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Habe nun meine Antwort um den Beweis erweitert.

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Danke, mir ists schon peinlich, aber mir erschließt es immer noch nicht was wir jetzt mit den as und bs aus der Angabe gemacht haben.

Ich glaub ich bin schon ganz wirr jetzt

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Dann solltest du darüber schlafen und morgen nochmals

darüber nachdenken: z.B. meine erste Erwähnung von (2):

Sei \(x\in X\). Mit \(n=-1\) und \(a=x\) besagt (2) dann

\(-x=(-1)\cdot x=n\cdot a\in X\), usw. usw.