Gegeben sei die Matrix

Question

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1) Gegeben sei die Matrix $A=\left(\begin{array}{lll}a & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ a & 0 & a\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$ mit $a \in \mathbb{R}$.
(a) Berechnen Sie $\operatorname{det}(A)$ in Abhängigkeit von $a \in \mathbb{R}$ und zeigen Sie, dass für beliebige $n \in \mathbb{N}, n \geq 1, a \in \mathbb{R}$ gilt:
$\operatorname{det}\left(A^{n}\right)=a^{3-n} .$
(b) Untersuchen Sie, für welche $a \in \mathbb{R}$ die inverse Matrix $A^{-1}$ der Matrix $A$ existiert und bestimmen Sie im Falle der Existenz die inverse Matrix $A^{-1}$ in Abhängigkeit von $a \in \mathbb{R}$.
(c) Ermitteln Sie die Eigenwerte der Matrix $A$ in Abhängigkeit von $a \in \mathbb{R}$.

Answer 1

(a) Berechnen Sie $\operatorname{det}(A)$.

Tu es doch.

zeigen Sie, dass für beliebige $n \in \mathbb{N}, n \geq 1, a \in \mathbb{R}$ gilt:$\operatorname{det}\left(A^{n}\right)=a^{3-n} .$

Wie wäre es mit vollständiger Induktion?

(b) Untersuchen Sie, für welche $a \in \mathbb{R}$ die inverse Matrix $A^{-1}$ der Matrix $A$ existiert

Finde heraus, für welche a die Determinante nicht 0 ist.