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Aufgabe:

Menge aller Unstetigkeitsstellen finden und veranschaulichen

f(x,y)=\( \frac{x^{2} + y^{2}}{(x+y) (y^{2} -x)} \)


Problem/Ansatz:

Normalerweißte benutzt man hier eine Annäherung y=m\( x^{n} \), je nachdem welche Exponenten man hat.

Hier hat man aber unterschiedliche vielfache der exponenten. Zähler und erste Klammer im Nenner sind *1, die zweite Klammer ist jedoch unterschiedlich. Hier man man y als doppelt so große Potenz im Vergleich zu x


Wie nähert man hier an, oder geht man hier ganz anders an die Aufgabe ran?

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1 Antwort

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hallo

der Zähler wird da Summe von Quadraten nur für x=y=0 Null.

Nenner wird 0 bei den beiden Klammern 0 da ist also immer unstetig.  Du kannst ja x=-y in den Zähler schreiben , entsprechen x=y^2 und dann untersuchen,.

da ist die funktion sicher unstetig, was du mit y=mx^n meinst verstehe ich nicht ganz, das kann man ja nur für wenige Funktionen ?

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Deswegen mache ich auch eine Fallunterscheidung ob der Bereich (0,0) ist oder außerhalb.

Der Bereich auserhalb ist selten das Problem.

was ich mit dem mx meine:

z.b. \( \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2}} \)

Hier sind im Zähler als auch Nenner die Exponenten gleich, also wird y=mx gesetzt

Dann lässt man x->0 und y->mx und man erhält \( \frac{1-m^{2}}{1+m^{2}} \)

Dann ist der wert für m=1 0 und für m=0 1 weshalb es an der Stelle nicht stetig ist.


Aber das geht hier nicht, da verschiedene exponenten vorhanden sind, wie mache ich das dann?

Das von dir benannte Vorgehen mit y=mx untersucht, welchen Grenzwert es bei Annäherung an die Stelle (0|0) bei einer beliebigen geradlinigen Annäherung ergibt.

(Kleines Manko: Die Annäherung entlang der y-Achse wird so nicht beschrieben, weil sich diese nicht mit einem Anstieg m beschreiben lässt.)

Du kannst ansonsten durchaus den Term\( \frac{x^{2} + y^{2}}{(x+y) (y^{2} -x)} \)unter der Annahme y=mx untersuchen.

Hat \( \frac{x^{2} + (mx)^{2}}{(x+mx) ((mx)^{2} -x)} \) für jedes m den gleichen Grenzwert für x gegen Null?

Immer 0 oder nicht? Ich kann wegen den verschiedenen exponenten nicht wie oben alle x rauskürzen, also bleiben immer x neben dem m stehen. Dann wird das doch immer 0?


Die Lösung sagt: f ist stetig in \( \vec{a} \) -> definiert auf "unleserlich" ( \( \vec{a} \) )  und lim f(\( \vec{x} \) ) ->\( \vec{a} \) = f(\( \vec{a} \) )

Klammere im Zähler x² aus.

Multipliziere den Nenner aus und klammere dann x^3 aus.

 \( \frac{1+m^{2}}{-1-m} \) oder nicht?

Hab aber nur \( x^{2} \) sowohl im zähler als auch Nenner ausgeklammert da im Nenner manche Summanden als höchste Potent nur die 2 hatten. 2 von den 4 Summanden vielen dann weg, die verbleibenden 2 sind dann -1-m.


Dann wäre es für m=0 1, m=1 0 und m=-1 undefiniert. was schließe ich daraus?

Hab aber nur \( x^{2} \) sowohl im zähler als auch Nenner ausgeklammert

Kannst du machen. Der Nenner nach dem Ausmultiplizieren hat als höchste Potenz den Summanden (m²+m³)x³ und noch etwas Kleckerkram geringerer Potenz.Nach dem Kürzen von x² hast du im Zähler 1+m², aber im Nenner immer noch einen nicht weggekürzten Faktor x.
Für m≠0 kannst du somit nur noch überlegen, ob der Spaß gegen plus oder minus unendlich geht.

Wie kann ich das dann "veranschaulichen"? Normal kommt dann sowas wie dass z.B. eine gerade alle Stellen enthält, aber was ist es hier?

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