Wahrscheinlichkeit-Binomialverteilung, Würfel

Question

Ein Würfel wird 1000mal geworfen, H zählt die Anzahl der Sechser in einer solchen Wurfserie. Ermittle ein symmetrisches Intervall um den Erwartungswert von H, in dem H voraussichtlich in 80% aller Wurfserien liegt!

Problem/Ansatz:

Ansatz?

Comments

EW = 1000*1/6 = 166,67

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EW = 1000*1/6 = 166,67

Du willst doch nur Deinen Kollegen 2166 anlocken.

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Wenn, dann ANTI-Kollegen, um nicht Kameradenschw... zu sagen

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Ich wünsche Dir alles Gute im neuen Jahr und sehe das so: Würfeln ist wie Deine Hasentöterei. Während ich 2/3 Banane essen kann, zur Not auch 0,67 Banane, ist entweder gewürfelt, oder nicht. Der Hase ist tot, oder nicht, wenn Du hoffentlich mal wieder daneben geschossen hast.

Answer 1

Früher hat man solche Aufgaben gelöst, indem man die Lösung in einer Tabelle nachgeschlagen hat.

Heute löst man solche Aufgaben indem man die Lösung in einer Tabelle nachschlägt. Unterschied zu früher ist, dass die Tabelle nicht mehr auf Papier vorliegt, sondern selbst mit dem Taschenrechner erstellt wird.

Erstelle eine Wertetabelle für die Funktion

        \(f(k) = \operatorname{bcd}\left(k, n, p\right) - \operatorname{bcd}(2k - 2np-1, n, p)\)

mit \(n=1000\) und \(k=\frac{1}{6}\) für k von 1 bis 1000.

Die Funktion \(\operatorname{bcd}(k, n, p)\) gibt die Wahrscheinlichkeit für höchstens \(k\) Erfolge in einer Bernoullikette der Länge \(n\) mit Erfolgswahrscheinlichkeit \(p\) an. Eine solche Funktion ist in deinem Taschenrechner eingebaut. Abhängig vom Modell des Tascherechners heißt die Funktion anders, vielleicht müssen auch die Parameter in anderer Reihenfoge angegeben werden.

Auch Wertetabellen kann dein Taschenrechner erstellen.

Suche in der Tabelle das kleinste \(k\), für das \(f(k)\geq 0,8\) ist.

Ergebnis ist die obere Grenze des Intervalls; die untere ist \(2k - 2np\).

Comments

für k von 1 bis 1000

Ich denke, man sollte bei k = 0 anfangen.

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Im Allgemeinen ist das richtig. Konkret wird in diesem Fall 0 nicht die Lösung sein.

Aus Effizienzgründen wäre es wohl besser \(k\) als die untere Grenze zu definieren und die Wertetabelle nur von \(0\) bis \(\mu\) aufzustellen.

Answer 2

Den gewünschten "Ansatz" hast Du ja schon im Titel genannt: Es ist die Binomialverteilung.

Comments

\( \sum \limits_{k=0}^{151} \binom{1000}{k} \left(\frac{1}{6}\right)^{k}\left(1-\frac{1}{6}\right)^{1000-k} ≈ 9,8 \, \% \)

\( \sum \limits_{k=152}^{181} \binom{1000}{k} \left(\frac{1}{6}\right)^{k}\left(1-\frac{1}{6}\right)^{1000-k} ≈ 79,7 \, \% \)

\( \sum \limits_{k=182}^{1000} \binom{1000}{k} \left(\frac{1}{6}\right)^{k}\left(1-\frac{1}{6}\right)^{1000-k} ≈ 10,5 \, \% \)

Das Intervall geht also von 152 bis 181.

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Vielleicht soll Fragesteller mit der Tschebyscheff Ungleichung arbeiten?

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@Mathhilf, daran hatte ich auch gedacht. Du kannst gerne diese Antwort hinzufügen, von mir würdest du dann dein +1 bekommen :)

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Nach Herrn Tschebyschow hat sich der Fragesteller ja nicht erkundigt.

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Manchmal wundere ich mich wie so mancher auf Lösungen kommt.

Danke habe ich selbst gelöst und war doch nicht so schwierig.

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Bitte, gerne geschehen.