wie kann man lim(An) und lim(Bn) rechnen?

Question

Problem/Ansatz: wie kann man lim(An) rechnen wenn es verschiedene n gibt?

Answer 1

Zeige 1. für n=10⁶ gilt a_n=b_n.

         2. (a_n)_n∈ℕ ist monoton fallend

         3. (b_n)_n∈ℕ ist monoton steigend

Für die Grenzwert von (a_n)_n∈ℕ setze x=\( \sqrt{n+1000} \) und y=\( \sqrt{n} \) und setze in den Hinweis ein.

Für die Grenzwert von (b_n)_n∈ℕ muss ich noch überlegen.

Answer 2

Aloha :)

Für \(1\le n<1\,000\,000\) gilt:$$n<1000\cdot1000\implies\frac{n}{1000}<1000\implies n+\frac{n}{1000}<n+1000\implies$$$$\sqrt{n+\frac{n}{1000}}<\sqrt{n+1000}\implies\sqrt{n+\frac{n}{1000}}-\sqrt n<\sqrt{n+1000}-\sqrt n\implies b_n<a_n$$

Zur Berechnung der Grenzwerte nutzen wir den Hinweis zum Umformen der Terme:Wir formen die die Folgen-Terme mit dem gegebenen Hinweis um:$$a_n=\sqrt{n+1000}-\sqrt n=\frac{(n+1000)-n}{\sqrt{n+1000}+\sqrt n}=\frac{1000}{\sqrt n\cdot\left(\sqrt{1+\frac{1000}{n}}+1\right)}<\frac{500}{\sqrt n}$$$$b_n=\sqrt{n+\frac{n}{1000}}-\sqrt n=\frac{\left(n+\frac{n}{1000}\right)-n}{\sqrt{n+\frac{n}{1000}}+\sqrt n}=\frac{\frac{n}{1000}}{\sqrt n\left(\sqrt{1+\frac{1}{1000}}+1\right)}=\frac{\sqrt n}{1000\left(1+\sqrt{1,001}\right)}$$Damit ist klar:$$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0\quad;\quad\lim\limits_{n\to\infty}b_n=\infty$$