Geometrische Reihe und Moivrescher Satz

Question

Aufgabe:

$$\text{ Es sei }r\in[0,1)\text{ und }x\in\mathbb{R}.\text{ Beweisen Sie, dass }$$

$$\sum \limits_{k=0}^{\infty}r^{k}cos(kx)=\frac{1-cos(x)}{1-2rcos(x)+r^2}$$
Problem/Ansatz:

Es sieht für mich so aus als müsste ich hier die Geometrische Reihe und den Moivrescher Satz verwenden.

Bis jetzt konnte ich aber noch zu keinem Ergebnis kommen und würde mich über Hilfe freuen.

Answer 1

Ich greife abakus' Idee hier auf:

Sei \(z=r(\cos(x)+i\sin(x))\) mit \(r\in [0,1)\), also i.b. \(r=|z|\lt 1\)

es ist $$\sum_{k=0}^{\infty} Re(z^k)=Re(\sum z^k)=Re(\frac{1}{1-z})$$

Der rechtsstehende Realteil liefert genau den erwünschten Ausdruck.

Comments

Genial einfach. Oder einfach genial.

Answer 2

r^k cos(kx) ist der Realteil von z^k mit z=x+iy.
Geht es damit vorwärts?

Comments

Ich denke schön danke für die Idee :)

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@abakus: prima Idee !

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Danke. Es war aber ein Schuss aus der Hüfte. Ich hatte/habe keine Ahnung, ob das Gesehene wirklich weiterhilft.