Berechnen Sie alle Eigenwerte

Question

Gegeben ist die Matrix \( \mathbf{A} \) mit
\( \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc} -1 & 2 & 4 \\ 0 & -2 & 0 \\ 4 & 9 & -1 \end{array}\right) \)
Berechnen Sie alle Eigenwerte.
\( \lambda_{1}= \)
\( \lambda_{2}=\square \quad \lambda_{3}= \)

Answer 1

Rechne A minus lambda mal die Einheitsmatrix, dann rechne das charakteristisches Polynom der Matrix, indem du die Determinante der Matrix in Abhängigkeit von Lambda rechnest und dann findest du die Nullstellen, dann hast du die Eigenwerte.

Answer 2

Aloha :)

Die Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms. Dieses findest du, indem du auf der Hauptdiagonalen der Matrix \(A\) jeweils ein \(\lambda\) subtrahierst und von der erhaltenen Matrix die Determinante bildest. Wir suchen also die Nullstellen von:$$0\stackrel!=\left|\begin{array}{rrr}-1-\lambda & 2 & 4\\0 & -2-\lambda & 0\\4 & 9 & -1-\lambda\end{array}\right|$$Wir ziehen den Faktor \(-2-\lambda\) aus der 2-ten Zeile vor die Determinante und entwickeln dann die Determinante nach der 2-ten Zeile:$$0\stackrel!=(-2-\lambda)\left|\begin{array}{rrr}-1-\lambda & 2 & 4\\0 & 1 & 0\\4 & 9 & -1-\lambda\end{array}\right|=(-2-\lambda)\cdot((-1-\lambda)^2-16)$$Mit der driten binomischen Formel finden wir:$$0\stackrel!=-(2+\lambda)\cdot(\underbrace{(1+\lambda)^2}_{=a^2}-\underbrace{16}_{=b^2})=-(2+\lambda)\cdot(\underbrace{(1+\lambda)}_{=a}-\underbrace{4}_{=b})\cdot(\underbrace{(1+\lambda)}_{=a}+\underbrace{4}_{=b})$$$$0\stackrel!=-(\lambda+2)\cdot(\lambda-3)\cdot(\lambda+5)$$Daraus lesen wir drei Eigenwerte ab:$$\lambda_1=-2\quad;\quad\lambda_2=3\quad;\quad\lambda_3=-5$$