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Titel: Zeigen Sie, dass die Standardbasis ein Teil der orthogonalen Gruppe ist
Stichworte: matrix,determinante,vektoren,gruppenhomomorphismus,permutation
Aufgabe:
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Aufgabe \( 11.4 \) (6 Punkte). Sei \( O(n)=\left\{A \in \mathrm{Gl}_{n}(\mathbb{R}) \mid{ }^{t} A=A^{-1}\right\} \) die orthogonale Gruppe und \( S_{n}=\{\sigma:\{1,2, \ldots, n\} \rightarrow\{1,2, \ldots, n\} \) । \( \sigma \) bijektiv \( \} \) die \( n \)-te Permutationsgruppe. Sei \( e_{1}, \ldots, e_{n} \in \mathbb{R}^{n} \) die Standardbasis. Für \( \sigma \in S_{n} \) bezeichne mit \( E_{\sigma} \) die Matrix
\( E_{\sigma}=\left(e_{\sigma(1)}, e_{\sigma(2)}, \ldots, e_{\sigma(n)}\right) \in M(n \times n, \mathbb{R}) . \)
(1) Zeigen Sie, dass \( E_{\sigma} \in O(n) \) für alle \( \sigma \in S_{n} \).
(2) Zeigen Sie, dass die Abbildung \( S_{n} \rightarrow O(n), \sigma \mapsto E_{\sigma} \), ein injektiver Gruppenhomomophismus ist.
(3) Sei \( A=\left(a_{i, j}\right)_{i, j=1, \ldots, n} \in O(n) \) eine orthogonale Matrix. Zeigen Sie, wenn \( a_{i, j} \geq 0 \) für alle \( i, j \), dann gibt es eine Permutation \( \sigma \in S_{n} \), so dass \( A=E_{\sigma} \).
Problem/Ansatz:
Mir fällt das ganze Thema komplett schwer und ich weiß nicht, wie ich diese Beweise anfangen soll. Danke im Voraus für kleine Ansätze
