Nichtlineare DGL zweiter Ordnung

Question

Aufgabe:

Lösen sie die Differentialgleichung (y")/(y'^2) +y'e^y=0

Mit den Anfangsbedingungen y(0) = 0 und y'(0) = 1, indem sie (y")/(y'^2) +y'e^y als Ableitung einer geeigneten Funktion F(y',y) schreiben.

Problem/Ansatz:.

Kann jemand vielleicht Schritt für Schritt erklären, wie die Aufgabe zu lösen ist? (DGL ist Lieder nicht meine Stärke, vorallem zweiter Ordnung)

Answer 1

Hallo,

Setze:

z=y'

z'=y''

in die DGL ein:

-------->

z'/z^2 +z e^y=0 |:z

z'/z^3 + e^y=0

z'/z^3         = - e^y

z'/z^3        = 0

z'=0

y''=0

y=C₁ +C₂x

C₁ +C₂x =e^y |ln(..)

y=(C₁ +C₂x)

y'= C₂/(C₁+C₂x)

->C₁=C₂=1

Lösung: y=ln(1+x)

Comments

Hey, danke erstmal für deine Hilfe. Was meinst du genau mit Lösung durch trennen der Variablen und wofür steht AWB?

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Achso OK, danke dir

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DDie Lösung von G ist falsch. Die hergeleitete Gleichung enthält 2 unbekannte Funktionen, nämlich z(x) und y(x). Sie ist daher nicht vom Typ "getrennte Veränderliche"

Answer 2

Hallo,

mit dem Lösungshinweis geht es so:

$$\frac{d}{dx}\left[-y'(x)^{-1}+\exp(y(x))\right]=y'(x)^{-2}y''(x)+\exp(y(x))y'(x)=0$$

Daher ist die Funktion in den eckigen Klammern konstant. Wegen der vorgegebenen Anfangsbedingungen ist diese Konstante gleich 0, also

$$-y'(x)^{-1}+\exp(y(x))=0 \Rightarrow 0=\exp(y(x))y'(x)-1=\frac{d}{dx}\left[\exp(y(x))-x\right]$$

Mit der Anfangsbedingung folgt:

$$\exp(y(x))-x=1 \Rightarrow y(x)=\ln(1+x)$$

Gruß Mathhilf

Comments

Vielen Dank für deine Antwort, habe es etwas anders aufgeschrieben, komme aber auf das gleiche Ergebnis.