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Aufgabe:

Die Ebene E enthält die Gerade g: x = (3,1, 2) + r ( 2,0,-1) und ist orthogonal zur Ebene F: -x +y +2z =-2. Geben Sie die Ebene E in Koordinatenform an.

Ich weiß hier wirklich nicht weiter.

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Aloha :)

Die Ebene FF steht senkrecht zur Ebene EE, also verläuft der Normalenvektor n=(1;1;2)T\vec n=(-1;1;2)^T der Ebene FF parallel zur Ebene EE. Der Normalenvektor ergänzt also die Geradengleichung gg zur Ebenengleichung EE.E ⁣ :   (xyz)=(312)+r(201)+s(112)E\colon\;\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}

Wir müssen noch die Parameterform in die Koordinatenform überführen. Dazu schauen wir uns kurz die Koordinatengleichungen an:x=3+2rsx=3+2r-sy=1+s    s=y1y=1+s\quad\implies\quad s=y-1z=2r+2s=2(1+s)=yr=2yr    r=2yzz=2-r+2s=2\cdot\underbrace{(1+s)}_{=y}-r=2y-r\quad\implies\quad r=2y-zWir setzen ss und rr in die erste Gleichung ein und erhalten:x=3+2(2yz)(y1)=3+4y2zy+1=4+3y2zx=3+2\cdot(2y-z)-(y-1)=3+4y-2z-y+1=4+3y-2zE ⁣ :   x3y+2z=4E\colon\;x-3y+2z=4

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Hallo

du kennst 1. einen Punkt, 2. den Richtungsvektor der Geraden. 3, einen Vektor der normal zu F ist, damit hast du einen Aufpunkt und 2 Richtungsvektoren,

Gruß lul

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