Question

Die Folge (f_n)_n der Fibonacci-Zahlen ist durch

         f₀ = 0,  f₁ = 1,          und          f_n+1 = f_n + f_n-1 (n ≥ 1)

rekursiv definiert. Berechnen Sie    $$ \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ { f }_{ n }{ f }_{ n+2 } }  },  $$

in dem Sie die Partialsummen $$ \sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ { f }_{ k }{ f }_{ k+2 } }  }   $$ als Teleskopsummen $$ \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ k } } -{ a }_{ k+1 }  $$ mit geeigneten a_k darstellen.

2)

In ähnlicher Weise berechne man  $$ \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ 4{ n }^{ 2 }-1 }  }. $$.

Answer 1

(1) Es ist$$\frac{f_{k+1}}{f_kf_{k+2}}=\frac{f_{k+2}-f_k}{f_kf_{k+2}}=\frac1{f_k}-\frac1{f_{k+2}}\Leftrightarrow\frac1{f_kf_{k+2}}=\frac1{f_kf_{k+1}}-\frac1{f_{k+1}f_{k+2}}.$$$$\sum_{k=1}^n\frac1{f_kf_{k+2}}=\sum_{k=1}^n\left(\frac1{f_kf_{k+1}}-\frac1{f_{k+1}f_{k+2}}\right)=\frac1{f_1f_2}-\frac1{f_{n+1}f_{n+2}}$$$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{f_kf_{k+2}}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac1{f_1f_2}-\frac1{f_{n+1}f_{n+2}}\right)=\frac1{1\cdot2}-0=\frac12.$$(2) Verwende \(4n^2-1=(2n-1)(2n+1)\) und führe eine Partialbruchzerlegung durch.

Comments

Ist ein kleiner Fehler drin oder? f1=f2=1 somit müsste die Lösung 1 sein.