Konvergenz einer Reihe auf ganz R

Question

Hi, ich schaffe diese Aufgabe nicht :

Zeige, dass dieTaylorreihe \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{} \) \( \frac{1}{(2*k)!} \) * x^2k

auf ganz R konvergiert.

Problem/Ansatz:

Ich habe es mit dem Quotientenkriterium probiert, jedoch schaffe ich zum einen nicht das Auflösen, und zum anderen stellt man doch mit diesem Kriterium nur fest, ob die Reihe konvergiert? Wie zeigt man hier die Konvergenz auf ganz R?

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Ich würde von der Reihe$$\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{1}{(2k)!}\,x^{2k}=\sum\limits_{k=0}^\infty a_k\cdot(x^2)^k\quad;\quad a_k\coloneqq\frac{1}{(2k)!}$$den Konvergenzradius \(r\) bestimmen:$$r=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{(2(k+1))!}{2k!}\right|=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{(2k+2)!}{2k!}\right|=\lim\limits_{k\to\infty}(2k+1)(2k+2)=\infty$$Also konvergiert die Potentreihe für alle \(|x^2|\in\mathbb R\) bzw. für alle \(x\in\mathbb R\).

Answer 2

Quotientenkriterium ist doch ne gute Idee.

statt x^(2k) betrachte z^k mit z=x^2 und du hast

\(  \frac{ a_k} {a_k+1} =  \frac{ \frac{ 1} {(2k)!} } {\frac{ 1} {(2(k+1))!}} = \frac{  {(2(k+1))!} } {(2k)!} = (2k+1)(2k+2) \)

und das geht für k gegen unendlich auch gegen unendlich, also ist der

Konvergenzradius für die z-Reihe unendlich und damit auch für die x-Reihe.

Answer 3

Hallo

du musst zeigen , dass der Konvergenzradius  r oo ist oder 1/r=0

mit einem der Verfahren zur Berechnung des Konvergenzradius.

Gruß lul