Zeigen Sie, dass folgendes für das Oberflächenmaß gilt.

Question

Es sei $\sigma$ das Oberflächenmaß von $R(f)$ für $f$ .

Es sei $f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ eine stetige Funktion mit $f(a)=f(b)=0$ und $f(x)>0$ für $a<x<b$, deren Einschränkung auf $] a, b\left[\right.$ von der Klasse $C^{1}$ ist.

Zeigen Sie

$\sigma(R(f))=2 \pi \int \limits_{a}^{b} f(t) \sqrt{1+\left(f^{\prime}(t)\right)^{2}} \mathrm{~d} t .$

Comments

Anschaulich ist das die Oberfläche des Rotationskörpers, der bei der Rotation der Funktion $f(t)$ um die $t$-Achse im Intervall $t\in[a;b]$ entsteht.

Habt ihr irgendeine spezielle Definition für $R(f)$ gehabt?

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$R(f)=\left\{(r \cos (\varphi), r \sin (\varphi), t) \in \mathbb{R}^{3} \mid a<t<b, 0 \leq r<f(t),-\pi<\varphi \leq \pi\right\}$

So war unser R(f) definiert.

Answer 1

Aloha :)

Ich habe mal versucht, die Situation mit Plotlux darzustellen:

Plotlux öffnen

f₁(x) = ln(x)f₂(x) = ln(x)·(x>=2,5)·(x<=3)f₃(x) = ln(2,5)·(x>=2,5)·(x<=3)P(3|ln(2,5))P(2,5|ln(2,5))P(3|ln(3))Zoom: x(1…4) y(0…1,5)

Wenn die blaue Graph um die $t$-Achse rotiert, entsteht ein Rotationskörper. Gesucht ist die Oberfläche dieses Rotationskörpers. Zur Herleitung betrachten wir das Dreieck aus der Abbildung. Du erkennst drei Punkte, links unten den Punkt $A$, rechts daneben den Punkt $B$ und darüber den Punkt $C$:$$A(t|f(t))\quad;\quad B(t+\Delta t|f(t))\quad;\quad C(t+\Delta t|f(t)+\Delta f)$$

Wenn der Punkt $A(t|f(t))$ um die $t$-Achse rotiert, erhalten wir einen Kreis mit dem Radius $f(t)$. Sein Umfang beträgt $U=2\pi\,f(t)$. Wenn man diesen Umfang mit der Strecke $\overline{AC}$ multipliziert, also mit der Länge der Hypotenuse des Dreiecks, erhält man näherungsweise die Oberfläche des Rotationskörpers über dem Intervall $[t|t+\Delta t]$.$$\Delta A\approx 2\pi f(t)\cdot\overline{AC}$$Die Stecke $\overline{AC}$ erhalten wir mit Hilfe des Satzes vom Pythagoras:$$\Delta A\approx 2\pi f(t)\cdot\sqrt{(\Delta t)^2+(\Delta f)^2}=2\pi f(t)\cdot\sqrt{1+\left(\frac{\Delta f}{\Delta t}\right)^2}\cdot\Delta t$$

Wenn wir den Abstand der Punkte $A$ und $B$ immer kleiner machen, also $\Delta t\to0$ gehen lassen, wird die Näherung immer exakter. Im infinitesimalen Grenzfall gilt daher für das Oberflächenelement:$$dA=2\pi f(t)\sqrt{1+\left(\frac{df}{dt}\right)^2}\,dt$$

Die gesamte Oberfläche ergibt sich nun aus Integration dieser Flächenelemente entlag der $t$-Achse:$$A=\int\limits_a^bdA=\int\limits_a^b2\pi f(t)\sqrt{1+(\,f'(t)\,)^2}\,dt$$

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Vielen Dank!!