Für welche x ∈ ℝ ist g(x) als reelle Funktion einer Veränderlichen definiert?

Question

Aufgabe:

Es sei g(x) folgende Funktion:

\(g(x) = (x^2 + 4x) \cdot \sqrt{x^2 + 4x}\)

Für welche x ∈ ℝ ist g(x) als reelle Funktion einer Veränderlichen definiert?

Problem/Ansatz:

Muss ich hier nach etwas auflösen oder womit fange ich an?

Answer 1

Aloha :)

Die einzige Einschränkung ist hier, dass das Argument der Wurzel-Funktion \(\ge0\) sein muss:$$x^2+4x\ge0\quad \Longleftrightarrow\quad x(x+4)\ge0$$Beide Faktoren \(x\) und \(x+4\) müssen dasselbe Vorzeichen haben:$$\text{Fall 1:}\quad x\ge0\;\land x+4\ge0\implies x\ge0\;\land\;x\ge-4\implies x\ge0$$$$\text{Fall 2:}\quad x\le0\;\land x+4\le0\implies x\le0\;\land\;x\le-4\implies x\le-4$$Damit lautet der Definitonsbereich:$$x\in\mathbb R\setminus(-4|0)$$oder auch in dieser Schreibweise:$$D=\{x\in\mathbb R\,|\,x\le-4\;\lor\;x\ge0\}$$