Mengen mit Polynomfunktionen als reelle Vektorräume

Question

Menge A := { P ∈ ℙ | P(0) - P(1) = 0 }

Menge B := { P ∈ ℙ | P(0)P(1) = 0 }

Menge C := { P ∈ ℙ | (P(0))² + (P(1))² = 0}

Untersuchen, ob A,B,C mit Addition und skalaren Multiplikation von reellen Funktionen Vektorräume sind.

Ich hätte zu  A gedacht das es hier zB P(0) zwei inverse Elemente d. Addition hat (-P(0)) und P1, B ist ein reeller vektorraum und bei C da Quadrate größer gleich Null sind ist P(0)=P(1)=0 und zB P(0) zwei neutrale Elemente d. Addition 0 und P(1) hat.

Bin mir aber überhaupt nicht sicher ob das total falsch ist finde auch keine ähnlichen Beispiele.

Comments

Bei B wähle vielleicht P(x) = x und Q(x) = 1 - x.

Answer 1

Z.B. bei A werden durch die Bedingung P(0) - P(1) = 0

aus der Menge aller Polynome einige ausgewählt, nämlich diejenigen,

die diese Bedingung erfüllen.

Nun musst du prüfen, ob diese ausgewählten die Axiome für einen

Unterraum der Menge aller Polynome erfüllen.

Etwa :  Ist das 0-Polynom dabei ?

Ja, denn, wenn P das Nullpolynom ist, gilt ja P(x)=0 für

alle x aus IR, also ist in der Tat     P(0) - P(1) = 0.

Dann:  wenn zwei die Bedingung erfüllen, dann auch deren Summe ?

Also wenn  P(0) - P(1) = 0 und  Q(0) - Q(1) = 0  dann auch

(P+Q)(0) - (P+Q)(1) = 0 . Auch das passt.

Dann noch:  wenn a aus IR ist und P erfüllt die Bedingung 

P(0) - P(1) = 0, dann  auch a*P ? 

Ja, das passt, also ist im 1. Falle  die Teilmenge A ein Unterraum der

Menge aller Polynome.

Comments

also verweise ich nochmal darauf dass die reellen Polynumfunktionen schon ein reeller Vektorraum sind und beweise noch die Vektorraumaxiome für Unterräume für A,B,C wenn möglich? danke das hilft mir sehr weiter!

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Ja, so kannst du das machen, dann hast nicht die gante

Latte von Vektorraumaxiomen abzuspulen.

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Ist es richtig dass bei den anderen beiden Mengen die Addition nicht abschließen kann? Reicht es das mit einem Beispiel zu widerlegen? LG

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Bei B bin ich mir nicht sicher finde kein Beispiel

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Zu B habe ich gefunden:

P(x)= 3x² -3

Q(x)= 2x

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Bei C könnte ich vielleicht das Nullpolynom abschließen wegen der Summe mit den Quadraten und dann ist C auch ein Unterraum?

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Das Gegenbeispiel bei B ist doch top.

Bei C würde ich eher so argumentieren:


(P(0))² + (P(1))²

<=>  P(0) = 0   und    P(1)  = 0


und wenn ebenfalls  Q(0) = 0   und    Q(1)  = 0

dann gilt das auch für die Summe P+Q .

und mit a*P klappt es auch, also ist das auch ein Unterraum.