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Aufgabe:

Auf dem Marktplatz im Zentrum einer Stadt steht ein quadratische Pyramide mit 6m Seitenlänge und 7m Höhe. Anlässlich des Stadtjubiläums soll auf einer Seitenfläche eine quadratische Gedenktafel angebracht werden, die einer Seitenlänge von 1m hat.

Aufgabe a): Es gibt Überlegungen, ob man zur Befestigung der Gedenktafel mit einem Bohrloch auskommen kann, wenn man senkrecht zur Seitenfläche so bohrt, dass der Bohrrichtung auf dem Mittelpunkt der der gegenüberliegenden Grundkante zielt.. Wählen sie einer der vieri Seitenflächen aus und bestimmen Sie auf ihr die Lage des geplanten Bohrlochs. Beschreiben sie die Lage des Bohrlochs auf der Seitenfläche unabhängig von der gewählten Seitenfläche möglichst genau.

Aufgabe b):
Bei dieser Planung liegt der Mittelpunkt der Gedenktafel auf dem Bohrloch, ihre Unterkante verläuft Parallel zur Grundkante der Seitenfläche. Zeichnen Sie ein maßstabsgetreues Bild dieser Seitenfläche mit Bohrloch und und Lage der Messingtafel. Berechnen Sie die Abstände, die bei diesem Plan die vier Eckpunkte der Tafel von der Seitenkante bzw. der Grundkante dieser Seitenfläche hätte.


Problem/Ansatz:

Aufgabe a habe ich gelöst und den Schnittpunkt berechnet. Aber bei Aufgabe b habe ich gar keinen Ansatz. Wie kann ich die lösen?

von

Wie bekomme ich die Eckpunkte der Tafel heraus bei Aufgabe b?

Soll die Aufgabe zeichnerisch, elementar-geometrisch oder vektoriell gelöst werden?

Rechnerisch soll es gelöst werden.

Die Ortsvektoren der vier Eckpunkte erhältst du, indem du   m ±0,5u ±0,5v berechnest, wobei u bzw. v Einheitsvektoren in Richtung BC bzw. FS sind.

pyramide.JPG

Wie komme ich aber auf die Eckpunkte rechnerisch. Was muss ich Schritt für Schritt berechnen?

Kann jemand weiterhelfen?

Welche Koordinaten hast du für die Eckpunkte der Pyramide bzw. welche Seitenfläche hast du gewählt?

A (0,0,0) , B (6,0,0), C (6,6,0), D (0,6,0) und S (3,3,7) Und die Seitenfläche ABS

Also hast du M (3|0,93|2,17)

Vorschlag von hj2166:

Die Ortsvektoren der vier Eckpunkte erhältst du, indem du m ±0,5u ±0,5v berechnest, wobei u bzw. v Einheitsvektoren in Richtung AB bzw. FS sind.

\(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} 6\\0\\0 \end{pmatrix}\quad \vec{u}=\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \\ \end{pmatrix}\\ \overrightarrow{FS}=\begin{pmatrix} 0\\3\\7 \end{pmatrix}\quad \vec{v}=\begin{pmatrix} 0\\\frac{3}{\sqrt{58}}\\\frac{7}{\sqrt{58}} \\ \end{pmatrix}\)

Damit wäre ein Eckpunkt P

\(P=\begin{pmatrix} 3\\0,93\\2,17 \end{pmatrix}+0,5\cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \\ \end{pmatrix}+0,5\cdot \begin{pmatrix} 0\\\frac{3}{\sqrt{58}}\\\frac{7}{\sqrt{58}} \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3,5\\1,13\\2,63 \end{pmatrix}\)

blob.png Kommst du damit weiter?

Wieso ist der Vektor u= 1,0,0? Und wieso ist der Vektor so wie Sie es angeben haben? Und welche Werte muss ich dann immer ändern, um auf die Eckpunkte zu kommen? Die Geradengleichung brauche ich auch noch, wie bilde ich die dann?

u ist der Einheitsvektor des Vektors AB

Einen Einheitsvektor kannst du mit der Formel \(e=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\\\) berechnen,

hier

\(\frac{\begin{pmatrix} 6\\0\\0 \end{pmatrix}}{6}=\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\)

Achso, gut. Und wie kommt man auf den v Vektor

Auf die gleiche Weise

\(\frac{\begin{pmatrix} 0\\3\\7 \end{pmatrix}}{\sqrt{58}}\)

Für welchen Vektor dann? Also welchen Buchstaben?

Also wie wäre die Rechnung dazu?

v ist der Einheitsvektor des Vektors FS.

Der Einheitsvektor hat die Länge 1. Da die Seitenlänge der quadratischen Tafel a = 1 ist, musst du vom dem berechneten Mittelpunkt M aus

eine halbe Einheit nach rechts und eine halbe nach oben

eine halbe Einheit nach rechts und eine halbe nach unten

eine halbe Einheit nach links und eine halbe nach oben

eine halbe Einheit nach links und eine halbe nach unten

gehen, um die vier Eckpunkte des Quadrates zu erhalten.

Ist das soweit klar?

Also v= Vektor f durch den Betrag vom Vektor f oder? Und um die Eckpunkte zu ermitteln muss ich einfach nur die Vorzeichen vor 0,5 immer ändern richtig?

Ja, wobei f = Vektor FS = \( \begin{pmatrix} 0\\3\\7 \end{pmatrix} \) ist. Und das ergibt dann den Einheitsvektor

\(\vec{v}= \begin{pmatrix} 0\\\frac{3}{\sqrt{58}}\\\frac{7}{\sqrt{58}}\end{pmatrix} \).

Als Kontrolle siehst du in meiner Skizze die Koordinaten des Punktes P.

Perfekt. Jetzt brauche ich noch eine Geradengleichung oder? Wie bekomme ich die?

Berechnen Sie die Abstände, die bei diesem Plan die vier Eckpunkte der Tafel von der Seitenkante bzw. der Grundkante dieser Seitenfläche hätte.

Du brauchst zwei Geradengleichungen

1. Grundkante

2. Seitenkante

Dann musst die Abstände der Punkte der Tafel zu diesen Geraden berechnen.

1. Gerade g durch A und B

\( g:\;\vec{x}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{l}6 \\ 0 \\ 0\end{array}\right) \)


2. Gerade der Seitenkante durch B und S

\(h:\; \vec{x}=\left(\begin{array}{l}6 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-3 \\ 3 \\ 7\end{array}\right) \)


Und das mit dem Lotfußpunktverfahren lösen oder? Wie wären denn die Ergebnisse?

Ja, richtig.

blob.png

Die Abstände sind

von g zu

P und T = 2,86

Q und U = 1,86


von h zu

P = 1,28

Q = 1,64

Die gleichen Abstände gelten für T und U zu der Geraden der anderen Seitenkante durch die Punkte A und S.

Vielen Dank! Die gleichen Abstände gelten für T und U zu der Geraden der anderen Seitenkante durch die Punkte A und S.


Den Teil habe ich jetzt nicht genau verstanden.

Betrachte die Seitenfläche von vorne:

blob.png

Dann solltest du sehen, dass die Punkte P und Q von der rechten Seitenkante genau so weit entfernt sind wie die Punkte T und U von der linken Seitenkante.

Achso, perfekt danke! Ich habe eine Präsentation und muss auch Fragen beantworten. Was denken Sie was für mögliche Fragen man dazustellen könnte.

Da fällt mir auf Anhieb nichts ein, aber ich könnte mir Fragen zu den einzelnen Konstruktionsschritten vorstellen, also beispielsweise

Wie berechnet man den Mittelpunkt einer Strecke?

Wie berechnet man den Schnittpunkt einer Geraden mit der Seitenfläche eines Körpers/einer Ebene?

Was ist ein Einheitsvektor und wie wird er gebildet?

Wie stelle ich eine Geradengleichung zu zwei Punkten auf?

Wie berechne ich den Abstand eines Punktes von einer Geraden?

Ok, gut. Die Antworten kenne ich eigentlich. Vielen Dank! Gibt es eventuell andere Möglichkeiten diese Aufgabe zu lösen, weil so eine Frage wahrscheinlich auch gestellt wird.

Ich schlage vor, du wartest ab, ob diese und deine vorherige Frage von anderen Loungern beantwortet wird. Wann ist deine Präsentation?

Nächste Woche

OK, dann warten wir erst einmal gelassen die nächsten Stunden ab.

Eine letzte Frage hätte ich noch. Bei der Aufgabe brauche ich auch eine Zeichnung. Reicht die Zeichnung von Ihnen aus oder sollte man eine andere machen?

Tja, das ist Geschmacksache. Du kannst meine verwenden oder eventuell mit einem anderen Programm eine neue erstellen.

Aber ihre ist vom Ding her richtig, wie die Aufgabenstellung es stellt oder?

sagen wir mal so, wer fremde arbeit als eigene Leistung verkauft, egal ob diese hier oder die die du vom MB erhalten hast, begeht unterschleif mit den bekannten folgen….

Welche Folgen?

Was meinen Sie damit?

Können Sie es dann löschen? Ich möchte keine Probleme bekommen.

Kann ein Moderator bitte die Frage löschen.

Da fehlt doch aber noch eine Ebenengleichung, um es mit dem Lotfußpunktverfahren lösen zu können.

Ich bekomme als Ergebnis 2,2 m vom Punkt T zur Seitenkante. Stimmt das?

Das war meine Antwort zu den Abständen:

blob.png


Aber das bekommt man raus. Sie können es prüfen.

Ich habe gerechnet und mit Geogebra geprüft: Das Ergebnis ist immer noch 1,28.

Wie sind Sie darauf gekommen

\( g: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{l}3 \\ 7 \\ 7\end{array}\right) \)

\( T(2,5|1,13| 2,63) \)

\( H: \;3 x+3 y+7 z=d \)

\( 3 \cdot 2,5+3 \cdot 1,13+7 \cdot 2,63=1 \)

\( 29,3=d \)


\( H:\; 3 x+3 y+7 z=29,3 \)

\( 3 \cdot 3 t+3 \cdot 3 t+7 \cdot 7 t=29,3 \)

\( t=0,44 \)

\( S=0,44 \cdot\left(\begin{array}{l}3 \\ 3 \\ 7\end{array}\right)=\begin{pmatrix} 1,32\\1,32\\3,08 \end{pmatrix} \)


\( \begin{aligned} d\left(T; S\right) &=\sqrt{(2,5-1,32)^{2}+(1,13-1,32)^{2}+(2,63-3,08)^{2}} \\ &=1,28 \end{aligned} \)

Bei diesem Beitrag handelt es sich um ein Crossposting. Es wäre angemessen, wenn man den Thread schließt.

1 Antwort

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Silvia könnten Sie es löschen oder ihre Beiträge entfernen?

von

Warum? Du hast gefragt, ob du meine Zeichnung verwenden kannst. Die habe ich mit Geogebra erstellt. Das kannst du auch. Und natürlich kannst du sie verwenden, indem du sie als Vorlage benutzt, um eigene Skizzen anzufertigen. Dafür kommst du nicht ins Gefängnis.

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