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Aufgabe:

Ihre Chefin hat Sie gebeten, das Volumen des Getreidesilos auf dem Hof auszumessen, und zwar auf 1m3 genau. Das zylindrische Silo ist ungefähr 15 m hoch und hat einen Durchmesser von ca. 8 m.

a) Wie ist die Formel für den Zusammenhang zwischen Ihrer Messgenauigkeit und dem Volumen?



b) Wie genau muss Ihr Messgerät sein, damit der Fehler im Resultat klein genug bleibt?

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Hallo :-)

Die beiden Werte 15m15m und 8m8m scheinen wohl die gemessenen Werte der Höhe bzw. vom Durchmesser zu sein. Nun sei ϵ\epsilon der Messfehler. Dann sind jeweils 15m=h+ϵ15m=h+\epsilon und 8m=d+ϵ8m=d+\epsilon, wobei hh und dd die wahren Werte des Silos sind.

Das wahre Volumen ist dann

V(h,d)=π(d2)2h=π(8mϵ2)2(15mϵ) V(h,d)=\pi \cdot \left(\frac{d}{2}\right)^2\cdot h=\pi \cdot \left(\frac{8m-\epsilon}{2}\right)^2\cdot (15m-\epsilon)

und das gemessene Volumen

V : =π(d2)2h=π(8m2)215m=240πm3 V':=\pi \cdot \left(\frac{d}{2}\right)^2\cdot h=\pi \cdot \left(\frac{8m}{2}\right)^2\cdot 15m=240\cdot \pi m^3

Den absoluten Messfehler bekomme ich nun durch

V(h,d)V=π(8mϵ2)2(15mϵ)240πm3=π(8mϵ2)2(15mϵ)240m3<()π76ϵ=76πϵ<250ϵ<!1m3ϵ<0.004m3 \begin{aligned}|V(h,d)-V'|&=\left|\pi \cdot \left(\frac{8m-\epsilon}{2}\right)^2\cdot (15m-\epsilon)-240\cdot \pi m^3\right|\\&=\pi \cdot \left|\left(\frac{8m-\epsilon}{2}\right)^2\cdot (15m-\epsilon)-240 m^3\right|\\&\stackrel{(*)}{<}\pi\cdot |76\cdot \epsilon|\\&=76\cdot \pi \cdot \epsilon <250\cdot \epsilon \stackrel{!}{<}1m^3\\&\Rightarrow \epsilon <0.004m^3\end{aligned}

(*) Ich gehe davon aus, dass der Messfehler klein ist und ich den inneren Ausdruck von daher durch ein Taylorpolynom 1.Ordnung (linear) nachoben abschätze. Und das lässt sich leichter lösen, als einem kubischen Term.

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Du musst olgendes Berechnen,

wenn V(r,h)=r2πh V(r,h) = r^2 \pi h das Volumen des Zylinders beschreibt.

Taylorentwicklung 1'-ten Grades ergibt

V(r+Δr,h+Δh)V(r,h)Vr(r,h)Δr+Vh(r,h)Δh=π(r2Δh+2rh Δh)<1 V(r+\Delta r, h + \Delta h) - V(r,h) \approx \frac{\partial V}{\partial r}(r,h) \Delta r + \frac{\partial V}{\partial h}(r,h) \Delta h = \pi \left( r^2 \Delta h + 2 r h \ \Delta h \right) < 1 Wenn wir annehmen das Δr=Δh=Δ \Delta r = \Delta h = \Delta gilt, folgt

Δ<1π(r2+2rh) \Delta < \frac{1}{ \pi ( r^2 + 2 r h ) } Einsetzen von r=4 r = 4 und h=13 h = 13 ergibt das Resultat.

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