Lagrange-Methode Gleichungssystem lösen

Question

Problem/Ansatz:

Ich muss die Funktion f(x,y)=2x-3y auf Extremstellen untersuchen unter der Nebenbedingung g(x,y)=x²+y²-13=0. Ich habe versucht es mit der Lagrange Methode zu lösen und bin dabei auf folgende drei Gleichungen gekommen:

1. 2+2*λ*x=0

2.-3+2*λ*y=0

3.x²+y²-13=0

Die Gleichungen sind auch soweit richtig, allerdings schaffe ich es nicht nach x, y und λ aufzulösen ich bekomme immer als Ergebnis: Wurzel(39) was Falsch ist. Kann mir jemand helfen dieses Gleichungssystem zu lösen.

Außerdem muss ich dann sagen ob es sich jeweils um ein Maximum oder Minimum handelt.

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Hallo, habe deine bisherigen Ergebnisse weiterentwickelt,
siehe meine Antwort.

Answer 1

Ich muss die Funktion f(x,y)=2x-3y auf Extremstellen untersuchen unter der Nebenbedingung g(x,y)=x²+y²-13=0.

f(x,y)=2x-3y     x²+y²-13=0      y²  =13-x^2     y=$\sqrt{13-x^2}$

f(x)=2x - 3*$\sqrt{13-x^2}$

$\frac{d f(x)}{d x}=2-3 \cdot \frac{-2 x}{2 \cdot \sqrt{13-x^{2}}}=2+\frac{3 \cdot x}{\sqrt{13-x^{2}}}$

$2+\frac{3 \cdot x}{\sqrt{13-x^{2}}}=0 \mid \cdot \sqrt{13-x^{2}}$

$2 \cdot \sqrt{13-x^{2}}+3 x=0$

$2 \cdot \sqrt{13-x^{2}}=-\left.3 x\right|^{2}$

$52-4 x^{2}=9 x^{2}$

$13 x^{2}=52$

$x^{2}=\frac{52}{13}$=4

$y=\pm \sqrt{13-\frac{52}{13}}=\pm \sqrt{\frac{169-52}{13}}=\pm \sqrt{\frac{117}{13}}=\pm \sqrt{9}=\pm 3$

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Ein paar Unsauberkeiten:

Die Folgerung y²  =13-x^2   -->  y=$\sqrt{13-x^2}$ ist falsch.

y=$-\sqrt{13-x^2}$ ist genauso möglich (mit einer entsprechend anderen Ableitung).

Zum Schmunzeln: x²=52/13. (Es soll Leute geben, die dazu "4" sagen.)

Das lässt im Übrigen die Möglichkeiten 2 und -2 offen.

Answer 2

Die erste Gleichung wird zu x=-1/λ.

Die zweite Gleichung wird zu y=1,5/λ.

Die dritte Gleichung wird zu

1/ λ² + 2,25/λ²  = 13

 3,25/λ²  = 13

λ²  = 1/4.

Comments

Könntest du vielleicht mit deine Rechnung zeigen? Immer wenn ich versuche das zu Rechnen bekomme ich: x=-4/λ, y=6/λ

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Was soll ich denn noch zeigen?? Wenn du λ²=1/4 nicht "verarbeiten" kannst: Das bedeutet, dass λ² entweder 1/2 oder -1/2 ist.

Setze das in die erste bzw. in die zweite Gleichung ein und berechne die beiden konkreten Möglichkeiten für x bzw. für y.

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Ich wollte wissen welche Rechenoperationen du in der Ersten Gleichung angewendet hast um sie auf x=-1/λ zu kommen. Weil in meinen Lösungen x=1/λ also ohne das Minus steht und ich selber ein völlig anderes Ergebnis raus habe. Kein Grund direkt so unfreundlich zu werden

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Also ich hätte als erstes in der ersten Gleichung auf beiden Seiten 2 subtrahiert...

Answer 3

Hallo shrekthabest,

du warst ja schon nah am Ziel:

$2=-2\lambda x\quad(1)$

$-3=-2\lambda y\quad (2)$.

Wegen $\lambda,x,y\neq0$ kann man Gleichung (2)

durch Gleichung (1) dividieren:

$\frac{y}{x}=-3/2$, also $y=-3/2 x$.

Einsetzen in Nebenbedingung liefert $x^2+(9/4)x^2=13$,

also $x^2/4=1$, d.h. $x=\pm 2$ und somit liegen die Extrema bei

$(-2,3)$ und $(2,-3)$. $\lambda$ ist nur eine Hilfsvariable,

deren Wert hier uninteressant ist, es sei denn,

man will die Extremaleigenschaft der Punkte durch die

Positiv- oder Negativdefinitheit einer Art Hessematrix

absichern. Meist verzichtet man darauf.