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Aufgabe:

Beweisen sie mittels vollständiger Induktion, dass \( n^2 ≤ 4^n\) für alle \( n ∈ ℕ\).

Hinweis: Benutzen Sie im Induktionsschritt, dass \( 2n ≤ 2n^2\) für alle \( n ∈ ℕ\) gilt.

Problem/Ansatz:

Wäre nett wenn mir jemand einen Ansatz oder eine Lösung geben könnte, da ich nicht mal weiß, wie ich da wirklich anfangen sollte.

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Der Induktionsanfang sollte klar sein. Der Induktionsschritt könnte folgendermaßen aussehen:
4n+1 = 4·4n ≥ 4·n2 = n2 + 2n2 + n2 ≥ n2 + 2n + 1 = (n+1)2.

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Beste Antwort

n^2 ≤ 4^n

IA

1^2 ≤ 4^1 → wahr

IS

(n + 1)^2 ≤ 4^(n + 1)

n^2 + 2n + 1 ≤ 4 * 4^n

verwende 2n < 2n^2 und 1 < n^2

n^2 + 2n^2 + n^2 ≤ 4 * 4^n

4 * n^2 ≤ 4 * 4^n

n^2 ≤ 4^n

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