Wie sieht die Monotonie aus

Question

Könnte mir bitte einer helfen das Monotonieverhalten dieser Folgen zu untersuchen?

Ich habe für beides jeweils eine Lösung aber ich weiß nicht ob ich die richtig berechnet habe und würde gerne meine Lösungen überprüfen :)

b) $a_{n}=n^{4}-2 n^{2}$

c) $a_{n}=n^{1-n}$

Comments

Es ist hier üblich, dass man die eigenen Lösungen mitteilt.

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Es ist hier üblich, dass man die eigenen Lösungen mitteilt.

Besser: Es wäre schön, wenn man ... :)

Answer 1

Aloha :)

zu b) Forme den Term zunächst etwas um:$$a_n=n^4-2n^2=(n^4-2n^2+1)-1=(n^2-1)^2-1$$Dann sieht man schnell:$$a_{n+1}-a_n=\underbrace{(\overbrace{(n+1)^2-1}^{=n^2+2n})^2-1}_{=a_{n+1}}-\underbrace{(\,(n^2-1)^2-1\,)}_{=a_n}=(n^2+2n)^2-(n^2-1)^2>0$$Die Folge ist streng monoton wachsend.

zu c) Wir formen wieder zuerst den Term um$$a_n=n^{1-n}=n^1\cdot n^{-n}=\frac{n}{n^n}=\frac{1}{n^{n-1}}$$Für alle $n\in\mathbb N$ gilt:$$n^n<n(n+1)^n\implies\frac{n^n}{n}<(n+1)^n\implies\frac{n}{n^n}>\frac{1}{(n+1)^n}\implies\frac{1}{n^{n-1}}>\frac{1}{(n+1)^n}$$sodass offenbar $a_n>a_{n+1}$ ist und die Folge daher streng monoton fällt.

Answer 2

guck dir das an es wird helfen