Diagonalisierung symmetrischer Matrizen

Question

Vegelegt sei die Matrix

$A:=\left[\begin{array}{ccc}11 & -8 & 4 \\ -8 & -1 & -2 \\ 4 & -2 & -4\end{array}\right] \in \mathrm{C}^{3 \times 3}$

Bstimmen Sie eine untitär Matrix U ∈ ℂ^3×3 , die diagonalisiert, sowie die sich ergebende Diagonalmatrix.

Comments

Bitte bitte bitte hilft mir!!! Please

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:'( :'( ein paar Tipps

Answer 1

Meinst Du solche Tipps

A:= {{11,-8,4},{-8,-1,-2},{4,-2,-4}}

https://www.geogebra.org/m/upUZg79r

|A- λ E|=0

((-(λ + 5)^(2)) * (λ - 16)) = 0

EW={-5,16}

$\small \left(\begin{array}{rrrr}λ=&-5&\left(\begin{array}{rrr}16&-8&4\\-8&4&-2\\4&-2&1\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right) = 0\\λ=&16&\left(\begin{array}{rrr}-5&-8&4\\-8&-17&-2\\4&-2&-20\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right) = 0\\\end{array}\right)$

EVs

$\small T \, := \, \left(\begin{array}{rrr}\frac{1}{2}&\frac{-1}{4}&4\\1&0&-2\\0&1&1\\\end{array}\right)$

$\small D:=T^{-1} A T \, := \, \left(\begin{array}{rrr}-5&0&0\\0&-5&0\\0&0&16\\\end{array}\right)$

Comments

Ja genau solche Tipps. Danke für deine Hilfe

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Bstimmen Sie eine untitär Matrix...

Deine Matrizen sind nicht unitär. Die beiden EV zum doppelten EW müssen senkrecht zueinander gewählt und alle drei EV normiert werden.

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Ja, Danke, hatte ich überlesen.

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Wurde die Aufgabe falsch gelöst?

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Oder das ist so richtig, weil dasnicht unitär ist!

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Nein, aber unvollständig, wie A. dargestellt hat

> EW müssen senkrecht zueinander gewählt und alle drei EV normiert werden.<

also so was wie (z.B. gram schmidt https://www.geogebra.org/m/mcxn9nd9 o.ä.)

$\small T \, := \, \left(\begin{array}{rrr}\frac{1}{\sqrt{5}}&\frac{-2}{\sqrt{105}}&\frac{-4}{\sqrt{21}}\\\frac{2}{\sqrt{5}}&\frac{1}{\sqrt{105}}&\frac{2}{\sqrt{21}}\\0&\frac{2}{21} \; \sqrt{105}&\frac{-1}{\sqrt{21}}\\\end{array}\right)$

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Alles klar, danke